2.3 齐次线性方程组解的结构

齐次线性方程组 $AX=0$ 其中 $A=[a_{ij}{]}_{m\times n},X=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ...\\ x_n\end{array}\right),0=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ ...\\ 0\end{array}\right)$ 方程组可表示为 $x_1{a}_1+...+x_n{a}_n=\theta$ 结论 $\text{方程有非零解}\iff a_1,a_2,...,a_n\text{线性相关}$ #定理 2.3.1 齐次线性方程组 $AX=0$ 有非零解的充要条件是 $\text{秩}(A)<A\text{的列数}$ #定义 设 $X_1,X_2,...,X_t$ 是齐次线性方程组 $AX=0$ 的 $t$ 个解向量, 若它们满足 $X_1,X_2,...,X_t$ 线性无关, 且 $AX=0$ 的任意解向量都可以由 $X_1,X_2,...,X_t$ 线性表出, 则 $X_1,X_2,...,X_t$ 是 $AX=0$ 的一个基础解系

定理 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵, 若 $r(A)=r<m$, 则齐次线性方程组 $AX=0$ 存在基础解系, 且基础解系包含 $n-r$ 个解向量.

求基础解系

1. 矩阵 A 行变换得阶梯型矩阵 B
2. BX=0 中分离自由未知数 $x_{r+1},...,x_n$
3. 求一组特解 $X_1,X_2,...,X_{n-r}$ $\{\begin{array}{l}{x}_{r+1}=1,x_{r+2}=0,...,x_n=0\Rightarrow X_1\\ x_{r+1}=1,x_{r+2}=1,...,x_n=0\Rightarrow X_2\\ ...\\ x_{r+1}=0,x_{r+2}=0,...,x_n=1\Rightarrow X_{n-r}\end{array}$
4. $X_1,X_2,...,X_{n-r}$ 是基础解系, 且一般方程组的一般解为 $k_1{X}_1+k_2{X}_2+...+k_{n-r}{X}_{n-r}$, $k_1,k_2,...,k_{n-r}$ 为任意 $t$ 个常数