枢轴量

1. 找一个和待估参数 $\theta$ 有关的统计量 $T(X_1,...,X_n)$, 一般选取参数 $\theta$ 的一个优良的点估计.
2. 构造统计量 $T(X_1,...,X_n)$ 和参数 $\theta$ 的一个函数 $G(T,\theta )$, 要求 $G$ 的分布与待估参数 $\theta$ 无关, 忽悠这种性质的函数称为枢轴量.
3. 对给定的置信水平 $1-\alpha$, 选取两个常数 $a,b$, 使得 $P_{\theta }\{a\le G(T,\theta )\le b\}=1-\alpha$.
4. 如果不等式 $a\le G(T,\theta )\le b$ 可以等价变形为 ${\hat{\theta }}_L\le \theta \le {\hat{\theta }}_U$, 即有 $P_{\theta }\{a\le G(T,\theta )\le b\}=P_{\theta }\{{\hat{\theta }}_L\le \theta \le {\hat{\theta }}_U\}=1-\alpha$.

随机区间 $[{\hat{\theta }}_L,\infty )$ 是 $\theta$ 的置信水平为 $1-\alpha$ 的单侧置信区间, 称 ${\hat{\theta }}_L$ 为置信水平为 $1-\alpha$ 的为单侧置信下限.

随机区间 $(-\infty ,{\hat{\theta }}_U]$ 是 $\theta$ 的置信水平为 $1-\alpha$ 的单侧置信区间, 称 ${\hat{\theta }}_U$ 为置信水平为 $1-\alpha$ 的为单侧置信上限.