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方差 σ12,σ22 已知时, 由于 μ1−μ2 点估计为 X−Y, 由抽样分布理论知 U=σ12/m+σ22/n(X−Y)−(μ1−μ2)∼N(0,1), 取 U 作为 枢轴量, 对于置信水平 1−α, 选择分位数 zα/2, 可得 P{∣σ12/m+σ22/n(X−Y)−(μ1−μ2)∣<zα/2}=1−α, 因此均值差 μ1−μ2 的置信水平 1−α 置信区间为 ((X−Y)−zα/2mσ12+σσ22n,(X−Y)+zα/2mσ12+nσ22).
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方差 σ12=σ22=σ2, 但是 σ2 未知时, 由抽样分布知 T=Sω1/m+1/nX−Y−(μ1−μ2)∼t(m+n−2), 其中 σω2=m+n−2(m−1)S12+(n−1)S22, 取 T 为 枢轴量, 取分位数 tα/2(n+m−2) 有 P{∣T∣<tα/2(n+m−2)}=1−α, 因此均值差 μ1−μ2 的置信水平 1−α 置信区间为 ((X−Y)±tα/2(n+m−2)Sωm1+n1).
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方差 σ12,σ22 未知, 但 m=n, 令 Zi=Xi−Yi, 则 Zi∼N(μ1−μ2,σ12+σ22), 且 Zi 独立同分布, 则 SZ/nZ−(μ1−μ2)∼t(n−1), 得 μ1−μ2 的置信水平 1−α 置信区间为 [X−Y−nSZtα/2(n−1),X−Y+nSZtα/2(n−1)].
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均值 μ1μ2 均未知, 此时 σ12/σ22 常用 点估计 为 S12/S22, 且有枢轴量 F=σ12/σ22S12/S22∼F(n−1,m−1), 根据 F 分布 的性质, 取分位数 F1−α/2(m−1,n−1),Fα/2(m−1,n−1), 方差比 σ12/σ22 的置信水平 1−α 置信区间为 [S22S12Fα/2(m−1,n−1)1,S22S12F1−α/2(m−1,n−1)1]
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均值 μ1μ2 已知, 此时 σ12,σ22 的 点估计 分别为 σ^12=m1∑i=1m(Xi−μ1)2,σ^22=n1∑i=1n(Yi−μ2)2, 可构造 枢轴量 为 G=σ12/σ22σ^12/σ^22∼F(m,n), 根据 F 分布 的性质, 取分位数 F1−α/2(m,n),Fα/2(m,n), 则 P{F1−α/2(m,n)≤σ12/σ22σ^12/σ^22≤Fα/2(m,n)}=1−α. 方差比 σ12/σ22 的置信水平 1−α 置信区间为 [σ^22σ^12Fα/2(m,n)1,σ^22σ^12F1−α/2(m,n)1].