拉格朗日定理

指数

$[G:H]$ 是 $H$ 在 $G$ 中的不同右陪集 (或左陪集) 数, 称为 $H$ 在 $G$ 中的 指数

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元素的阶

$a\in G$, 使得 $a^k=e$ 成立的最小正整数 $k$ 为 $a$ 的阶, $|a|=k$, 称 $a$ 为 $k$ 阶元.

若 $k$ 不存在, 则 $a$ 为无限阶元.

$a\in G,|a|=r$, 则

1. $a^k=e$, 当且仅当 $r$ 整除 $k$.
2. $|a^{-1}|=|a|$.

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设 $G$ 是 有限群, $H$ 是 $G$ 的 子群, 则 $|G|=|H|\cdot [G:H]$.

子群的阶 是 群的阶 的因子.

推论 设 $G$ 是 $n$ 阶群, 则 $\forall a\in G$, $|a|$ 是 $n$ 的因子, 且有 $a^n=e$.

群中元素的阶是群阶的因子

推论 对阶为素数的群 $G$, 一定存在 $a\in G$ 使得 $G=<a>$.

生成子群

$a\in G,H=\{a^k,|k\in Z\}$, 则 $H$ 是由 $a$ 生成的子群, 记作 $<a>$.

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