有限布尔代数

原子

定义 设 $L$ 是格, $0\in L$, 若 $\forall b\in L$, $0\prec b\preccurlyeq a\iff b=a$, 则称 $a$ 为 $L$ 中的原子.

• 若 $L$ 是正整数 $n$ 的全体正因子关于整除关系构成的格, 则 $L$ 的原子恰为 $n$ 的全体素因子.
• 若 $L$ 是 $B$ 的幂集, 则 $L$ 中的原子就是 $B$ 中元素构成的单元集.

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定理 设 $B$ 为有限布尔代数, $A$ 是 $B$ 的全体原子构成的集合, 则 $B$ 同构于 $A$ 的幂集代数 $P(A)$.

• 任何有限布尔代数的基数为 $2^n$.
• 任何等势的有限布尔代数都是同构的.