代数系统

集合 $S$ 和 $S$ 上 $k$ 个运算 $f_1,f_2,...,f_k$ 组成的系统称为代数系统, $<S,f_1,f_2,...,f_k>$.

如果两个代数系统中运算的个数相同， 对应运算的元数相同，代数常数的个数也相同，则称它们是同类型的代数系统.

同类型的代数系统不一定具有相同的运算性质.

子代数系统

$B$ 是 $S$ 的非空子集, 若 $B$ 对 $f_1,f_2,...,f_k$ 都是封闭的, $B$ 和 $S$ 有相同的代数常数, $<B,f_1,f_2,...,f_k>$ 是 $V=<S,f_1,f_2,...,f_k>$ 的子代数系统.

• 最大的子代数: $V$
• 最小的子代数: 若 $V$ 中所有代数常数构成的集合是 $V$ 的子代数, 则为最小子代数
• 平凡子代数: 最大子代数 和 最小子代数
• 真子代数: $B$ 是 $S$ 的真子集时

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积代数

设 $V_1=<A,\circ >$ 和 $V_2=<B,\ast >$ 是 同类型 的代数系统，$V_1\times V_2=<A\times B,\bullet >$ 是它们的积代数.

• $\bullet$ 的性质和 $\circ$, $\ast$ 相同.
• $<e_1,e_2>$ 为 $\bullet$ 的零元, $<{\theta }_1,{\theta }_2>$ 为 $\bullet$ 的单位元
• $x$, $y$ 为可逆元, $<x,y>$ 为 $\bullet$ 的可逆元, 逆元为 $<x^{-1},y^{-1}>$.

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代数系统的同态和同构

设 $V_1=<A,\circ >$ 和 $V_2=<B,\ast >$ 是同类型的代数系统, $f:A\to B$, 且 $\forall x,y\in A,f(x\circ y)=f(x)\ast f(y)$, $f$ 是 $V_1$ 到 $V_2$ 的同态.

• 单同态: $f$ 是单射
• 满同态: $f$ 是满射, 此时 $V_2$ 是 $V_1$ 的同态像, $V_2\sim V_1$.
• 同构: $f$ 是双射, $V_1$ 同构于 $V_2$, $V_1\cong V_2$.
• 自同态: $V_1=V_2$.

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