布尔代数

若一个格是 有补分配格, 则称为布尔格或布尔代数. 记为 $<B,\wedge ,\vee {,}^{\prime },0,1>$, ${}^{\prime }$ 为求补运算.

定理 设 $<B,\wedge ,\vee {,}^{\prime },0,1>$ 是布尔代数, 则

• $\forall a\in B,(a^{\prime }{)}^{\prime }=a$
• $\forall a,b\in B,(a\wedge b{)}^{\prime }=a^{\prime }\vee b^{\prime },(a\vee b{)}^{\prime }=a^{\prime }\wedge b^{\prime }$.

定理 设 $<B,\ast ,\circ >$ 是代数系统, 若二元运算满足交换律, 分配律, 同一律, 补元律, 则称 $<B,\ast ,\circ >$ 为一个布尔代数.

有限布尔代数

原子

定义 设 $L$ 是格, $0\in L$, 若 $\forall b\in L$, $0\prec b\preccurlyeq a\iff b=a$, 则称 $a$ 为 $L$ 中的原子.

• 若 $L$ 是正整数 $n$ 的全体正因子关于整除关系构成的格, 则 $L$ 的原子恰为 $n$ 的全体素因子.
• 若 $L$ 是 $B$ 的幂集, 则 $L$ 中的原子就是 $B$ 中元素构成的单元集.

指向原始笔记的链接

定理 设 $B$ 为有限布尔代数, $A$ 是 $B$ 的全体原子构成的集合, 则 $B$ 同构于 $A$ 的幂集代数 $P(A)$.

• 任何有限布尔代数的基数为 $2^n$.
• 任何等势的有限布尔代数都是同构的.

指向原始笔记的链接