有界格

设 $L$ 是格, 若 $\exists a\in L,\forall x\in L,a\preccurlyeq x$, $a$ 为 $L$ 的全下界. 若 $\exists b\in L,\forall x\in L,x\preccurlyeq b$, $b$ 为 $L$ 的全上界.

• 一般将全下界记为 0, 全上界记为 1.

设 $L$ 是格, 若 $L$ 存在全下界和全上界, 则称 $L$ 为有界格, 记为 $<L,\wedge ,\vee ,0,1>$.

定理 有界格中, $\forall a\in L,a\wedge 0=0,a\vee 0=a,a\wedge 1=a,a\vee 1=1$.

补元

设 $<L,\wedge ,\vee ,0,1>$ 是有界格, $a\in L$, 若 $\exists b\in L,(a\wedge b=0)\wedge (a\vee b=1)$, 则称 $b$ 是 $a$ 的补元.

$a,b$ 互为补元.

定理 若有界 分配格 $L$ 中元素 $a$ 存在补元, 则存在唯一的补元.

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