1.2 极限

数列的极限

数列

x_1, x_2, x_3, ...x_n, ...\tag{1} 称为无穷数列, $x_n$ 为通项, 数列 $(1)$ 记为 $x_n$

• 数列对应数上一个点列, 可看作一个动点在数轴上不断取点
• 数列是整标函数 $x_n=f(n)$

定义 如果对任意给定的正数 $\epsilon$, 总存在正整数 $N$, 使得对于 $n>N$ 时的一切 $x_n$, 不等式 $|x_n-A|<\epsilon$ 恒成立, 称 $A$ 是数列 $x_n$ 的极限, 或者数列 $x_n$ 收敛于 $A$ ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=A,或写成x_n\to A$

• $N$ 与任意给定的 $\epsilon$ 有关, 且 $N$ 不唯一
• $|x_n-A|<\epsilon$ 刻划了 $x_n$ 与 $A$ 的无限接近
• 数列是否收敛与数列的前有限项无关

$\epsilon -N$ 定义 ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=A⟺\forall \epsilon >0,\exists N>0,当n>N,始终有|x_n=A|<\epsilon$ 在数轴上, 当 $n>N$ 时, 所有点 $x_n$ 都落在 $(A-\epsilon ,A+\epsilon )$ 上, 只有有限多个在范围外

通常使用倒推法求 $N$, 有两种方法

• 直接法
• 放大法

子列极限

从 $x_n$ 中任意抽取无限多项并保持原顺序, 得到的数列称为原数列 $x_n$ 的子数列 #定理 收敛数列的任意子数列也收敛, 且极限相同 #推论 如果数列的某一子列发散, 或数列中两个子列收敛于不同的极限, 则数列本身一定发散 #结论 若 $y_{n_k}{y}_{n_l}...y_{n_m}$ 是数列 $y_n$ 的 $m$ 个子列, 当这些子列都收敛于 $A$, 并且这些子列构成的并集等于 $y_n$ 时, $y_n$ 也收敛于 $A$.

函数的极限

自变量趋向于无穷大时

1. $x\to +\infty$
2. $x\to -\infty$
3. $x\to \infty$, $x$ 即可取正又可取负值, $|x|$ 无限增大 对于任意给定的 $\epsilon$, 总存在着正数 $X$, 使得对于适合不等式 $|x|>X$ 的一切 $x$, 所对应的函数值 $f(x)$ 都满足不等式 $|f(x)-A|<\epsilon$, $A$ 为 $f(x)$ 当 $x\to \infty$ 时的极限, 记作 ${\lim }_{x\to \infty }f(x)=A$ 或 $f(x)\to A$ #定理 $li{m}_{x\to \infty }f(x)=A,\leftrightarrow {\lim }_{x\to +\infty }f(x)=A且{\lim }_{x\to -\infty }f(x)=A$ #定义 如果 ${\lim }_{x\to \infty }f(x)=c$, 或 ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=c$, 或 ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=c$, 则 $y=c$ 是函数 $y=f(x)$ 的图形的水平渐近线

自变量趋向有限值时函数的极限

$x\to x_0$ 对应函数值 $f(x)$ 无限趋近于确定值 $|f(x)-A|<\epsilon$ 表示 $|f(x)-A|$ 任意小 $0<|x-x_0|<\delta$, 在去心邻域上 #定义 $\forall \epsilon$, $\exists \delta$, 总存在着正数 $X$, 使得对于适合不等式 $0<|x-x_0|<\delta$ 的一切 $x$, 所对应的函数值 $f(x)$ 都满足不等式 $|f(x)-A|<\epsilon$, $A$ 为 $f(x)$ 当 $x\to \infty$ 时的极限, 记作 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A$ 或 $f(x)\to A$

• 函数极限与 $f(x)$ 在 $x_0$ 处是否有定义无关

单侧极限

左极限 $\forall \epsilon >0,\exists \delta >0,\text{使得}{x}_0-\delta <x<x_0\text{时},\text{恒有}|f(x)-A|<\epsilon ,\text{记作}{\lim }_{x\to x_0^{-}}f(x)=A\text{或}f(x_0-0)=A$ 右极限 $\forall \epsilon >0,\exists \delta >0,\text{使得}{x}_0<x<x_0+\delta \text{时},\text{恒有}|f(x)-A|<\epsilon ,\text{记作}{\lim }_{x\to x_0^{+}}f(x)=A\text{或}f(x_0+0)=A$ #定理 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A\iff f(x_0-0)=f(x_0+0)=A$