置换的轮换表示

对于任何 $S$ 上的 $n$ 元置换 $\sigma$, 存在着一个有限序列 $i_1,i_2,\dots ,i_k,k\le 1$, (可以取 $i_1=1$) 使得 $\sigma (i_1)=i_2,...,\sigma (i_k)=i_1$.

令 ${\sigma }_1=\left(\begin{array}{cccc}{i}_1& i_2& ...& i_k\end{array}\right)$ 是第一个轮换, $\sigma ={\sigma }_1{\sigma }^{\prime }$, 继续分解, 经过有限步可得 $\sigma ={\sigma }_1{\sigma }_2...{\sigma }_t$.

定理 任意置换可以唯一表示成不相交的轮换乘积.

• 轮换的不交性
• 分解的唯一性

通常省略轮换分解式中的 $1$ 阶轮换.