H 是 G 的 子群, a∈G,
Ha={ha∣h∈H}, Ha 是子群 H 在 G 中的 右陪集, a 为 Ha 的 代表元素.
aH={ah∣h∈H}, aH 是子群 H 在 G 中的 左陪集, a 为 aH 的 代表元素.
定理 H 是 G 的 子群, ∀A,B∈G,a∈Hb⇔ab−1∈H⇔Ha=Hb.
定理 在 G 上定义 二元关系 R, ∀a,b∈G,<a,b>∈R⇔ab−1∈H, 则 R 是 G 上的 等价关系, 且 [a]R=Ha.
等价类
[x]R 为 x 在 R 上的等价类, 当且仅当 ∀x∈A,[x]R={y∣y∈A∧xRy}
性质
- ∀x∈A, [x] 是 A 的非空子集.
- ∀x,y∈A, 若 xRy, 则 [x]=[y].
- ∀x,y∈A, 若 xRy, 则 [x],[y] 不交.
- ⋃{[x]∣x∈A}=A.
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- ∀a,b∈G,Ha=Hb 或 Ha∩Hb=∅.
- ⋃{Ha∣a∈G}=G
给定群 G 的一个子群 H, H 的所有右陪集的集合 {Ha∣a∈G} 恰好构成 G 的一个 划分.
定理 ∀a∈G,H≈Ha.
H 与 Ha 等势.
左陪集的性质
- eH=H
- ∀a∈,a∈aH
- ∀a,b∈G,a∈bH⇔b−1a∈H⇔aH=bH
- 在 G 上定义 二元关系 R, ∀a,b∈G,<a,b>∈R⇔b−1a∈H, 则 R 是 G 上的 等价关系, 且 [a]R=aH
- ∀a∈G,H≈aH
正规子群
∀a∈G,Ha=aH, 则 H 称为正规子群, 也称为不变子群.
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