林德伯格-莱维中心极限定理

定理 设 $X_1,X_2,...$ 是独立同分布的随机变量序列, 且 $E(X_i)=\mu$, $D(X_i)={\sigma }^2>0,i=1,2,,...$, 则对任意的实数 $x$, 有 ${\lim }_{n\to \infty }P\{\frac{{\sum }_{i=1}^n{X}_i-E({\sum }_{i=1}^n{X}_i)}{\sqrt{D({\sum }_{i=1}^n{X}_i)}}\le x\}={\lim }_{n\to \infty }P\{\frac{{\sum }_{i=1}^n{X}_i-n\mu }{\sigma \sqrt{n}}\le x\}={\int }_{-\infty }^x\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{t^2}{2}}dt=\Phi (x)$.