卡方分布

定义 $X_1,X_2,...,X_n$ 是来自总体 $N(0,1)$ 的样本, 则称统计量 ${\chi }^2=X_1^2+X_2^2+...+X_n^2$ 服从自由度为 $n$ 的 ${\chi }^2$ 分布.

$f(x)=\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\Gamma (\frac{n}{2})}{x}^{\frac{n}{2}-1}{e}^{-\frac{x}{2}},x>0$

其中 $\Gamma (\alpha )={\int }_0^{+\infty }{x}^{\alpha -1}{e}^{-x}dx,\alpha >0$.

$E(X)=n,D(X)=2n$

特别地, 当 $n=2$ 时, ${\chi }^2(2)$ 分布的概率密度 $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2}{e}^{-\frac{x}{2}}& x>0\\ 0& x\le 0\end{array}$.

• 设 $X_1,X_2,...,X_n$ 互相独立, 都服从正态分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$, 则 $\frac{1}{{\sigma }^2}{\sum }_{i=1}^n(X_i-\mu {)}^2\sim {\chi }^2(n)$.
• $X\sim {\chi }^2(n)$, 则 $E(X)=n,D(X)=2n$.
• ${\chi }^2$ 分布的可加性.