抽样分布

统计量 的分布称为抽样分布.

卡方分布

定义 $X_1,X_2,...,X_n$ 是来自总体 $N(0,1)$ 的样本, 则称统计量 ${\chi }^2=X_1^2+X_2^2+...+X_n^2$ 服从自由度为 $n$ 的 ${\chi }^2$ 分布.

$f(x)=\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\Gamma (\frac{n}{2})}{x}^{\frac{n}{2}-1}{e}^{-\frac{x}{2}},x>0$

其中 $\Gamma (\alpha )={\int }_0^{+\infty }{x}^{\alpha -1}{e}^{-x}dx,\alpha >0$.

$E(X)=n,D(X)=2n$

特别地, 当 $n=2$ 时, ${\chi }^2(2)$ 分布的概率密度 $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2}{e}^{-\frac{x}{2}}& x>0\\ 0& x\le 0\end{array}$.

• 设 $X_1,X_2,...,X_n$ 互相独立, 都服从正态分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$, 则 $\frac{1}{{\sigma }^2}{\sum }_{i=1}^n(X_i-\mu {)}^2\sim {\chi }^2(n)$.
• $X\sim {\chi }^2(n)$, 则 $E(X)=n,D(X)=2n$.
• ${\chi }^2$ 分布的可加性.

指向原始笔记的链接

t 分布

设 $X\sim N(0,1),Y\sim {\chi }^2(n)$, $X,Y$ 相互独立, 称 $t=\frac{X}{\sqrt{Y/n}}$ 服从自由度为 $n$ 的 $t$ 分布.

概率密度函数为 $f(x)=\frac{\Gamma [(n+1)/2]}{\Gamma (n/2)\sqrt{n\pi }}(1+\frac{x^2}{n}{)}^{\frac{n+1}{2}},-\infty <x<\infty$.

• $t$ 分布的密度函数关于 $y$ 轴对称, 且 ${\lim }_{|x|\to \infty }f(x)=0$.
• $t$ 分布密度函数于标准正态分布的概率密度函数图像类似.
• 当 $n$ 足够大时, $T$ 近似服从标准正态分布 $N(0,1)$.

柯西分布

当 $n=1$ 时, 其密度函数为 $f(x)=\frac{1}{\pi (1+x^2)},-\infty <x<\infty$, 此时 $t$ 分布就是柯西分布, 其数学期望不存在.

指向原始笔记的链接

指向原始笔记的链接

F 分布

设 $X\sim {\chi }^2(m),Y\sim {\chi }^2(n)$, 且 $X,Y$ 相互独立, 称随机变量 $F=\frac{X/m}{Y/n}$ 服从自由度为 $(m,n)$ 的 $F$ 分布, 记为 $F\sim F(m,n)$, 概率密度函数为 $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{\Gamma (\frac{+n}{2})}{\Gamma (\frac{m}{2})\Gamma (\frac{n}{2})}(\frac{m}{n}{)}^{\frac{m}{2}}{x}^{\frac{m}{2}-1}(1+\frac{m}{n}x{)}^{-\frac{m+n}{2}}& x>0\\ 0& x\le 0\end{array}$.

• 设 $X\sim F(m,n)$, 则 $1/X\sim F(n,m)$.
• 设 $T\sim t(n)$, 则 $T^2\sim F(1,n)$.

指向原始笔记的链接

设 $X_i$ 是来自总体 $X$ 的一个样本, 且 $EX=\mu ,DX={\sigma }^2$, 则 $E\overline{X}=\mu ,D\overline{X}=\frac{{\sigma }^2}{n},E{S}^2={\sigma }^2$.

定理 设 $X_i$ 是来自正态总体 $N(\mu ,{\sigma }^2),\mu \in R,\sigma >0$ 的样本, $\overline{X}$ 表示样本均值, 则有 $\overline{X}\sim N(\mu ,\frac{{\sigma }^2}{n})$, 即 $\frac{\overline{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}\sim N(0,1)$.

定理 设 $X_i$ 是来自正态总体 $N(\mu ,{\sigma }^2),\mu \in R,\sigma >0$ 的样本, $\overline{X}$ 和 $S^2$ 分别表示样本均值和样本方差, 则有 $\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2(n-1)$, $\overline{X}$ 和 $S^2$ 相互独立.

定理 设 $X_i$ 是来自正态总体 $N(\mu ,{\sigma }^2),\mu \in R,\sigma >0$ 的样本, $\overline{X}$ 和 $S^2$ 分别表示样本均值和样本方差, 则有 $\frac{\overline{X}-\mu }{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1)$.

定理 设 $X_i$ 是来自正态总体 $N(m{u}_1,{\sigma }^2)$ 的样本, 设 $Y_i$ 是来自正态总体 $N({\mu }_2,{\sigma }^2)$ 的样本, 且两个样本相互独立, 则有 $\frac{\overline{X}-\overline{Y}-({\mu }_1-{\mu }_2)}{S_{\omega }\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{1}{m}}}\sim t(n+m-2)$, 其中 $S_{\omega }^2=\frac{(n-1)S_1^2+(m-1)S_2^2}{n+m-2},S_{\omega }=\sqrt{S_{\omega }^2}$.

定理 设 $X_i$ 是来自正态总体 $N(m{u}_1,{\sigma }^2)$ 的样本, 设 $Y_i$ 是来自正态总体 $N({\mu }_2,{\sigma }^2)$ 的样本, 且两个样本相互独立, 则 $\frac{S_1^2/S_2^2}{{\sigma }_1^2/{\sigma }_2^2}\sim F(n-1,m-1)$.