电磁感应

6 当穿过闭合导体回路所围面积的磁通量发生变化时, 回路中就会产生电流的现象称为电磁感应现象, 相应的电流称为感应电流. 产生感应电流的本质是回路中出现了感应 电动势.

法拉第电磁感应定律

导体回路中感应电动势的大小与穿过回路的磁通量的时间变化率成正比, $\mathcal{E}=-\frac{d\Phi }{dt}=-\frac{d}{dt}{\int }_S\vec{B}\cdot d\vec{S}$

磁链

对于 $N$ 匝导线构成的线圈, 穿过各匝回路的总磁通量 $\Psi ={\sum }_{i=1}^N{\Phi }_i$ 称为全磁通, 当穿过各匝回路的磁通量都相等时, $N$ 匝线圈中全磁通 $\Psi =N\Phi$ 称为磁链.

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楞次定律

感应电流的效果总是反抗引起它的原因.

闭合回路中感应电流的方向总是使激发的磁场来阻止引起感应电流的磁通量的变化.

运动导体上的感应电流受到的安培力总是反抗导体的运动.

实质是产生感应电流的过程必须遵守能量守恒定律.

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动生电动势

单纯由导体运动产生的感应电动势称为动生电动势. 产生动生电动势的非静电力是 洛伦兹力.

当导体棒在磁场中运动时产生的动生电动势为 $\mathcal{E}={\int }_b^a(\vec{v}\times \vec{B})\cdot d\vec{l}$, 如果整个导体回路都在磁场中运动, 回路中产生的动生电动势为 $\mathcal{E}={\oint }_L(\vec{v}\times \vec{B})\cdot d\vec{l}$.

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感生电动势

导体在磁场中固定不动, 而磁场随时间发生变化时产生的电动势. $\mathcal{E}={\oint }_L{E}_k\cdot d\vec{l}=-\frac{d\Phi }{dt}$

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感生电场

变化的磁场在周围激发的电场, 用 ${\vec{E}}_k$ 表示. 感生电场是非保守力场.

${\oint }_L{\vec{E}}_k\cdot d\vec{l}=-{\int }_S\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\cdot \vec{S}$

${\oint }_S{\vec{E}}_k\cdot d\vec{S}=0$

感生电场对电荷的作用力时产生感生电动势的非静电力.

感生电场的方向与磁场变化率方向之间满足左手螺旋关系.

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自感

由于电路电流变化, 在自身回路中激发感应电动势的现象, 相应的感应电动势称为自感电动势.

$L=\frac{\Psi }{I}$

自感 $L$ 是描述线圈电磁惯性的物理量, 与线圈的几何形状, 大小, 匝数, 磁介质有关, 与线圈中电流无关.

自感电动势 ${\mathcal{E}}_l=-L\frac{dl}{dt}$

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互感

由一个电路中电流变化引起在相邻电路中产生感应电动势的现象称为互感现象. 在互感现象中产生的感应电动势称为互感电动势.

$M=\frac{{\Psi }_{21}}{I_1}=\frac{{\Psi }_{12}}{I_2}$

两回路中的互感电动势 ${\mathcal{E}}_{12}=-M\frac{d{I}_2}{dt}$ 互感 $M$ 只与两回路的结构, 相对位置, 周围磁介质有关, 与回路中的电流无关.

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磁场的能量

可看作储存在电感元件中的, 自感为 $L$ 的线圈中流过电流 $I$ 时储存的能量为 $W_m=\frac{1}{2}L{I}^2$, 载流线圈储存的能量通常称为自感磁能. 电流相同的情况下自感 $L$ 越大的线圈自感磁能也越大.

磁场能量密度 $w_M=\frac{1}{2}\frac{B^2}{\mu }=\frac{1}{2}BH=\frac{1}{2}\mu H^2$

磁场的能量 $W_m={\int }_V{w}_{m}dV={\int }_V\frac{1}{2}BHdV$

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位移电流

位移电流表示空间电位移矢量的变化. 只要通过某个截面的电位移通量随时间变化, 就有流过该截面的位移电流.

位移电流的本质是变化的电场.

$I_d={\int }_S\frac{\partial \vec{D}}{\partial t}\cdot d\vec{S}=\frac{d{\Phi }_d}{dt}$

位移电流密度矢量为空间任意一点处电位移矢量随时间的变化率, ${\vec{J}}_d=\frac{\partial \vec{D}}{\partial t}$

位移电流解释了变化的电场与磁场之间的内在联系.

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全电流的安培环路定理

安培环路定理

在恒定电流的磁场中, 磁感应强度 $\vec{B}$ 沿着任何闭合路径 $L$ 的线积分等于路径 $L$ 所包围的电流的代数和的 ${\mu }_0$ 倍, ${\oint }_L\vec{B}\cdot d\vec{l}={\mu }_0\sum I_{\text{内}}$, $\sum I_{\text{内}}$ 为闭合路径 $L$ 所包围的电流的代数和, 电流的正负通过右手螺旋定则判断. $\vec{B}$ 是由空间所有恒定电流共同产生的.

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全电流

空间中同时存在的 传导电流 和 位移电流 之和称为全电流. $I_s=I_c+I_d$

全电流密度矢量可表示为 ${\vec{J}}_s={\vec{J}}_c+\frac{\partial \vec{D}}{\partial t}$

全电流的电流线构成闭合的曲线, 全电流是恒定连续的, ${\oint }_S({\vec{J}}_c+\frac{\partial \vec{D}}{\partial t})\cdot d\vec{S}=0$

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磁场强度 $\vec{H}$ 沿着磁场中任意闭合回路的线积分在数值上等于穿过以该闭合回路为边界的任意曲面的全电流的代数和. ${\oint }_L\vec{H}\cdot d\vec{l}=I_c+{\int }_S\frac{\partial \vec{D}}{\partial t}\cdot \vec{S}={\int }_S({\vec{J}}_c+\frac{\partial \vec{D}}{\partial t}\cdot d\vec{S}$

普遍意义的安培环路定理的本质是变化的电场激发磁场. 如果空间中只存在变化的电场, 与变化电场相联系的磁场为 ${\oint }_L\vec{B}\cdot d\vec{l}={\mu }_0{\epsilon }_0\frac{d}{dt}{\int }_S\vec{E}\cdot d\vec{S}$

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麦克斯韦方程组

$$\begin{array}{rl}{\oint }_S\vec{D}\cdot d\vec{S}& ={\int }_V\rho dV=q_0\\ {\oint }_L\vec{E}\cdot d\vec{l}& =-{\int }_S\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\cdot d\vec{S}\\ {\oint }_S\vec{B}\cdot d\vec{S}& =0\\ {\oint }_L\vec{H}\cdot d\vec{l}& =I_e+{\int }_S\frac{\partial \vec{D}}{\partial t}\cdot d\vec{S}\end{array}$$

在各向同性的介质中, 介质方程的形式为

$$\begin{array}{rl}\vec{D}& ={\epsilon }_0{\epsilon }_r\vec{E}\\ \vec{B}& ={\mu }_0{\mu }_r\vec{H}\\ \vec{J}& =\sigma \vec{E}\end{array}$$

对于处在电磁场中以速度 $\vec{v}$ 运动的带电粒子 $q$, 还受到电磁场的作用力 ${\vec{F}}_L=q\vec{E}+q\vec{v}\times \vec{B}$

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