关于均值的假设检验

设总体 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$, $X_i$ 为来自总体 $X$ 的样本. 显著水平 为 $\alpha$, ${\mu }_0$ 为已知的常数.

1. 当 ${\sigma }_2$ 已知时, $H_0:\mu ={\mu }_0,H_1:\mu \ne {\mu }_0$, 从 $\mu$ 的点估计 $\overline{X}$ 出发构造拒绝域 $W=\{(x_1,...,x_n):|\overline{x}-{\mu }_0|\le C\}$, 按照控制第一类错误的原则 $P\{|\overline{X}-{\mu }_0|\le C|H_0\text{成立}\}=\alpha$, 根据 抽样分布 定理, $\frac{\overline{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}\sim N(0,1)$, 当 $H_0:\mu ={\mu }_0$ 成立时, $Z=\frac{\overline{X}-{\mu }_0}{\sigma /\sqrt{n}}\sim N(0,1)$. 查表 $z_{\alpha /2}$, 计算.
2. 当 ${\sigma }_2$ 已知时, $H_0:\mu \le {\mu }_0,H_1:\mu >{\mu }_0$, 拒绝域 $W=\{(x_1,...,x_n):\overline{x}-{\mu }_0\ge C_1\}$, 按照控制第一类错误的原则 $P\{\frac{\overline{x}-{\mu }_0}{\sigma /\sqrt{n}}\ge C|H_0\}\le \alpha$, $C=\frac{C_1}{\sigma /\sqrt{n}}$. 根据 抽样分布 定理, $\frac{\overline{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}\sim N(0,1)$. 查表得 $z_{\alpha }$, 计算.
3. 当 ${\sigma }^2$ 已知, $H_0:\mu \ge {\mu }_0,H_1:\mu <{\mu }_0$ 时, 检验统计量为 $\frac{\overline{x}-{\mu }_0}{\sigma /\sqrt{n}}$, 拒绝域为 $W=\{(x_i):\frac{\overline{x}-{\mu }_0}{\sigma /\sqrt{n}}\le -z_{\alpha }\}$.