1.1 Gauss消元法

基本概念

$$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+...+a_{1n}{x}_n=b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+...+a_{2n}{x}_n=b_2\\ ...\\ a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+...+a_{mn}{x}_n=b_m\end{array}$$

• 包含了 $m$ 个方程

次数

• $b_i\ne 0$ 零次
• $b_i=0$ 不计次
• 齐次
• 一个解
  • n 元有序数组使得上式所有方程变为恒等式

解集合

• 全部解的集合

不相容线性方程组

• 解集合为空集

解

• 一般解 (通解)
• 具体解 (特解)
• 解的存在性
• 解的唯一性
• 线性方程组同解
• 非齐次线性方程组
  • $b_1,b_2,...b_m$ 不全为 0
• 齐次线性方程组
  • $b_1,b_2,...,b_m$ 全为 0
• 零解
  • 所有未知数全为 0 的解
• 非零解

基本思想

将线性方程组转化为容易求解的方程组, 进而求解

阶梯型方程组

从上到下, 方程中具有非零系数的第一个未知数的下表严格增大.

$ex1$ $\{\begin{array}{l}{x}_1-x_2-x_3=1\\ 2x_1+2x_2-4x_3=4\\ 3x_1-4x_2-2x_3=5\end{array}$ 转为 $\{\begin{array}{l}{x}_1-x_2-x_3=1\\ -x_2+x_3=2\\ 4x_2-2x_3=2\end{array}$ 转为 $\{\begin{array}{l}{x}_1-x_2-x_3=1\\ x_2-x_3=-2\\ x_3=5\end{array}$ 得到解

包含两个过程

1. 消元
2. 回代

初等变换

1. 交换某两个方程 $R_{ij}$
2. 用非零常数 $c$ 乘某个方程 $c{R}_i$
3. 将第 $i$ 个方程的 $k$ 倍加到第 $j$ 个方程上 $R_j+k{R}_i$

定理 1.1.1 方程组的初等变换把一个线性方程组变成另一个同解的线性方程组.

矩阵

\begin{cases} x_1-x_2-x_3=1 \\ 2x_1+2x_2-4x_3=4 \\ 3x_1 - 4x_2-2x_3=5 \end{cases} = \begin{bmatrix} 1 & -1 & -1 & 1\\ 2 & 2 & -4 & 4\\ 3 & -4 & -2 & 5 \end{bmatrix}$$ $m$行$n$列矩阵A记为$A_{m \times n}$或$(a_{ij})_{m \times n}$ ## 分类 - 行矩阵 - 列矩阵 - 方阵 - 零矩阵 ## 与方程组对应 - #系数矩阵 - #增广矩阵 ## 矩阵的初等行变换 #增广矩阵 的每行对应一个方程, 方程组的初等变换等同于矩阵的 #初等行变换. 1. 交换某两行 $R_{ij}$ 2. 用非零常数$c$乘某个行 $cR_i$ 3. 将第$i$行的$k$倍加到第$j$行上 $R_j+kR_i$ > $ex1$ > $A=\begin{bmatrix}2&2&-4&4\\1&-1&-1&1\\3&-4&-2&5\end{bmatrix}$ $\xrightarrow{R_{12}} \xrightarrow[R_3 + (-3)R_1]{R_2 + (-2) R_1} \xrightarrow{R_{23}}\xrightarrow{R_3+4R_2}$ ## 阶梯形矩阵 非零行的第一个非零元为主元 > #定理 1.1.2 > 任何矩阵可以经过有限次适当的初等行变换化为阶梯形矩阵 - 零行 不可少 - $=$ 与 $\rightarrow$ 不可混淆 ## 矛盾方程 形如"零=非零数"的方程 ## 自由未知数 在不定方程组中可以任意取定值的未知数. > **选择自由未知数的方式** > - 在阶梯型方程组中**没有在首项出现**的未知数 选择自由未知数 $\rightarrow$ 分离自由未知数 $\rightarrow$ 回代求解 阶梯型矩阵 $\rightarrow$ 将主元所在列的其他元化为零 $\rightarrow$ #行简化阶梯形矩阵 ## 独立方程个数 ## 几何意义 关于3个未知数, 具有3个方程的线性方程组的几何解释 ### 唯一解 空间中3个平面交于同一点 ### 无解 3个平面没有公共点 ### 无穷多解 3个平面有无穷多个公共点