李雅普诺夫中心极限定理

设 $X_1,X_2,...,X_n,...$ 是相互独立的随机变量序列, 它们的数学期望和方差都是存在的, 数学期望 $E(X_k)={\mu }_k$, 方差 $D(X_k)={\sigma }_k^2>0$, $k=1,2,...$, $B_n=\sqrt{{\sum }_{k=1}^n{\sigma }_k^2}$, 若存在正数 $\delta$, 使得 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{B_n^{2+\sigma }}{\sum }_{k=1}^{n}E\{|X_k-{\mu }_k{|}^{2+\delta }\}=0$, 则对任意 $x$, 有 ${\lim }_{n\to \infty }P\{\frac{{\sum }_{k=1}^n{X}_k-{\sum }_{k=1}^n{\mu }_k}{B_n}\le x\}={\int }_{-\infty }^x\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{t^2}{2}}=\Phi (x)$.

无论随机变量 $X_k$ 服从什么分布, 只要满足定理的条件, 当 $n$ 充分大时, 他们的和 ${\sum }_{k=1}^n{X}_k$ 近似地服从正态分布.