群中元素的幂

$a\in G,n\in Z$, 则 $a^n=\{\begin{array}{ll}e& n=0\\ a^{n-1}a& n>0\\ (a^{-1}{)}^m,n<0& n=-m\end{array}$ 只有群中元素可以定义负整数次幂.

幂运算规则

• $\forall a\in G,(a^{-1}{)}^{-1}=a$,
• $\forall a,b\in G,(ab{)}^{-1}=b^{-1}{a}^{-1}$,
• $\forall a\in G,a^n{a}^m=a^{n+m},n,m\in Z$,
• $\forall a\in G,(a^n{)}^m=a^{nm},n,m\in Z$,
• 若 $G$ 为交换群, 则 $(ab{)}^n=a^n{b}^n$.