静电场中的导体和电介质

静电平衡

• 导体内部没有净电荷.
• 若导体空腔内无带电体, 则腔内表面不带电. 若导体空腔内由带电体, 则腔内表面所带电荷量与腔内带电体所带电荷量等值异号.
• 导体表面的电荷面密度 ${\sigma }_e={\epsilon }_{0}E$, 其中电场由所有电荷共同产生.
• 孤立导体处于静电平衡时, 表面曲率大的地方电荷面密度大.

导体的静电平衡条件

导体内部 电场强度 为零, 导体表面外紧邻处电场强度方向与该处导体表面垂直.

或导体是等势体, 导体表面是等势面.

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静电屏蔽

在 静电平衡 状态下, 导体壳外的带电体以及导体壳外表面上的电荷对导体内的空间电场无影响; 接地的空腔导体腔内带电体对外界无影响.

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电介质的电结构特征

其中没有可以自由移动的电荷. 有极性分子有固有电矩, 无极性分子没有固定电矩.

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电介质的极化

在外电场中, 电介质的表面或内部出现束缚电荷的现象.

在外电场中, 无极性分子中的正负电荷重心发生相对位移而产生位移极化; 有极性分子的固有电矩转向外电场方向而产生转向极化.

电极化强度用单位体积内分子电偶极矩的矢量和表示. $\vec{P}=\frac{\sum {\vec{p}}_i}{\Delta V}$, 对无极分子构成的电介质, $\vec{P}=n\vec{p}$.

在外电场 $E_0$ 中极化的电介质表面以及体内出现的束缚电荷 $q^{\prime }$ 也要产生电场 $E^{\prime }$, 此时总电场 $\vec{E}={\vec{E}}_0+{\vec{E}}^{\prime }$

对各向同性电介质, 在电场不太强的情况下, 电极化强度 $\vec{P}$ 与电场强度 $\vec{E}$ 呈线性关系, $\vec{P}={\epsilon }_0({\epsilon }_r-1)\vec{E}={\chi }_e{\epsilon }_0\vec{E}$ 其中 ${\epsilon }_r$ 为相对介电常量, ${\chi }_e$ 称为电介质的电极化率.

对于电介质内任意闭合曲面 $S$, 若由于电极化而穿过 $d\vec{S}$ 面向外移出闭合曲面的电荷为 $\vec{P}\cdot d\vec{S}$, 则穿过整个闭合曲面向外移出的电荷为 ${\oint }_S\vec{P}\cdot d\vec{S}$, 曲面内净余束缚电荷为 $\sum q_{\text{内}}^{\prime }=-\Delta q_{\text{外}}$.

束缚电荷面密度

${\sigma }_e^{\prime }=\vec{P}\cdot {\vec{e}}_n$

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有介质时的高斯定理

有电介质存在时的总场强 $\vec{E}={\vec{E}}_0+{\vec{E}}^{\prime }$, ${\vec{E}}^{\prime }$ 为束缚电荷的电场.

电位移 $\vec{D}={\epsilon }_0\vec{E}+\vec{P}$, 对各向同性电介质 $\vec{D}={\epsilon }_0{\epsilon }_r\vec{E}=\epsilon \vec{E}$.

$\vec{D}$ 的 高斯定理 ${\oint }_S\vec{D}\cdot d\vec{s}=\sum q_{0\text{内}}$

通过任意封闭曲面 $S$ 的 $\vec{D}$ 通量等于该封闭曲面所包围的自由电荷的代数和 $\sum q_{0\text{内}}$.

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电容器

电容为 $C=\frac{Q}{U}$

平行板电容器 $C=\frac{{\epsilon }_0{\epsilon }_{r}S}{d}$

球形电容器 $C=\frac{4\pi {\epsilon }_0{\epsilon }_{r}l}{\ln (R_2/R_1)}$

并联电容器组 $C=\sum C_i$

串联电容器组 $\frac{1}{C}=\sum \frac{1}{C_i}$

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电场的能量

电荷系静电能 $W_e=\frac{1}{2}{\sum }_{i=1}n{q}_i{\phi }_i,W_e=\frac{1}{2}{\int }_q\phi dq$

电容器的能量 $W_e=\frac{1}{2}\frac{Q^2}{C}=\frac{1}{2}QU=\frac{1}{2}C{U}^2$

电场的能量密度 $w_w=\frac{1}{2}\epsilon E^2=\frac{1}{2}DE$

电场的能量 $W_e={\int }_V{w}_{e}dV$

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