二元运算

函数 $f:S\times S\to S$ 为二元运算

$S$ 中任意两个元素都可进行运算, 有唯一的结果.

运算结果都属于 $S$, 运算 封闭.

一元运算

函数 $f:S\to S$ 称为一元运算.

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性质

运算在 $S$ 上满足交换律, $\forall x,y\in S,x\circ y=y\circ x$ 运算在 $S$ 上满足结合律, $\forall x,y,z\in S,x\circ (y\circ z)=(x\circ y)\circ z$ 运算在 $S$ 上满足幂等律, $\forall x\in S,x\circ x=x$ $\circ$ 和 $\ast$ 运算满足吸收律, 当且仅当 $\circ$ 和 $\ast$ 运算都可交换, 且 $\forall x,y\in S,x\circ (x\ast y),x\ast (x\circ y)=x$

• 单位元

  $e_l$ 是 $S$ 关于 $\circ$ 的左单位元, 但且仅当 $\exists e_l\in S,\forall x\in S,e_l\circ x=x$ $e_r$ 是 $S$ 关于 $\circ$ 的右单位元, 但且仅当 $\exists e_r\in S,\forall x\in S,x\circ e_r=x$ $e$ 是 $S$ 关于 $\circ$ 的单位元, 但且仅当其既是左单位元又是右单位元时.

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• 零元

  ${\theta }_l$ 是 $S$ 关于 $\circ$ 的左零元, 但且仅当 $\exists {\theta }_l\in S,\forall x\in S,{\theta }_l\circ x={\theta }_l$ ${\theta }_r$ 是 $S$ 关于 $\circ$ 的右零元, 但且仅当 $\exists {\theta }_r\in S,\forall x\in S,x\circ {\theta }_r={\theta }_r$ $\theta$ 是 $S$ 关于 $\circ$ 的零元, 但且仅当其既是左零元又是右零元时.

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• 逆元

  $y_l$ 是 $S$ 关于 $\circ$ 的左逆元, 但且仅当 $\exists y_l\in S,\forall x\in S,y_l\circ x=e$ $y_r$ 是 $S$ 关于 $\circ$ 的右逆元, 但且仅当 $\exists y_r\in S,\forall x\in S,x\circ y_r=e$ $y$ 是 $S$ 关于 $\circ$ 的逆元, 但且仅当其既是左逆元又是右逆元时, 逆元记作 $x^{-1}$.

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