11 耦合电感和理想变压器

耦合电感

同名端

产生互感电压的电流参考方向的流入端被视作同名端.

当电流和互感电压的参考方向和同名端一致时, $u_M=M\frac{di}{dt}$ 否则为 $u_M=-M\frac{di}{dt}$ 电路中的互感现象可视作附加的电压源, 若电流为 $\dot{I}$, 则互感电压相量可表示为 $j\omega M\dot{I}$.

耦合电感的 VCR

$u_1=L_1\frac{d{i}_1}{dt}+M\frac{d{i}_2}{dt}=j\omega L_1{\dot{I}}_1+j\omega M{\dot{I}}_2$

$u_2=L_2\frac{d{i}_2}{dt}+M\frac{d{i}_1}{dt}=j\omega L_2{\dot{I}}_2+j\omega M{\dot{I}}_1$

耦合系数

耦合电感的自感和互感达到极限情况时称为全耦合, ${\Phi }_{21}={\Phi }_{11},{\Phi }_{12}={\Phi }_{22}$ 此时互感 $M$ 值最大, $M=M_{\text{max}}=\sqrt{L_1{L}_2}$.

$M$ 和 $M_{\text{max}}$ 之比称为耦合系数, 用来衡量两线圈耦合程度. $k=\frac{M}{\sqrt{L_1{L}_2}}$

储能

总储能 = $L_1$ 自感储能 + $L_2$ 自感储能 + $L_1$ 互感储能 + $L_2$ 互感储能. $w=\frac{1}{2}{L}_1{i}_1^2+\frac{1}{2}{L}_2{i}_2^2\pm M{i}_1{i}_2$

串联

异名端相接, 等效电感 $L=L_1+L_2+2M$.

同名端相接, 等效电感 $L=L_1+L_2-2M$.

空心变压器电路

回路电流法

$\{\begin{array}{l}{Z}_{11}=R_1+j\omega L_1\\ Z_{22}=R_2+R_L+j\omega L_2\\ Z_{12}=Z_{21}=j\omega M\end{array}$ 其中 $Z_{11},Z_{22}$ 为自阻抗, $Z_{12}$ 为互阻抗. 根据克莱姆法则得 ${\dot{I}}_1=\frac{Z_{22}{\dot{U}}_S}{Z_{11}{Z}_{22}-Z_{12}{Z}_{21}},{\dot{I}}_2=\frac{-Z_{21}{\dot{U}}_S}{Z_{11}{Z}_{22}-Z_{12}{Z}_{21}}$

反映阻抗法

电源端的输入阻抗 $Z_i=\frac{{\dot{U}}_S}{{\dot{I}}_1}=Z_{11}+\frac{Z_{12}{Z}_{21}}{Z_{22}}=Z_{11}+\frac{{\omega }^2{M}^2}{Z_{22}}$ 其中 $\frac{{\omega }^2{M}^2}{Z_{22}}$ 是二次回路在一次回路的反应阻抗.

${\dot{I}}_1=\frac{{\dot{U}}_S}{R_1+j\omega L_1+\frac{\omega M^2}{Z_{22}}},{\dot{I}}_2=\frac{-j\omega M{\dot{I}}_1}{R_2+R_L+j\omega L_2}$

戴维南定理

将负载 $R_L$ 断开, 求戴维南等效电路.

$U_{OC}=j\omega M{\dot{I}}_{10}=j\omega M\frac{{\dot{U}}_S}{R_1+j\omega L_1}$ 等效阻抗为 $Z_0=R_2+j\omega L_2+\frac{{\omega }^2{M}^2}{Z_{11}}$ 其中 $\frac{{\omega }^2{M}^2}{Z_{1}1}$ 为一次回路在二次回路的反映阻抗.

${\dot{I}}_2=\frac{-U_{OC}}{Z_0+R_L}$

去耦等效电路

同名端连接时, $L_a=L_1-M$, $L_b=M$, $L_c=L_2-M$.

理想变压器

VCR

初级匝数为 $N_1$, 次级匝数为 $N_2$, 则参数匝比 (变比) $n=\frac{N_2}{N_1}$

当两电感趋于无穷且全耦合时, $u_2=n{u}_1,i_2=-\frac{1}{n}{i}_1$ 两电压高电位端与同名端一致时, 电压比取正; 两电流都从同名端流入, 电流取负.

能量

理想变压器既不消耗能量也不储存能量, 是无记忆元件.

阻抗变换性质

$R_i=\frac{1}{n^2}{R}_L$

理想变压器具有变换阻抗的性质, 可以利用理想变压器, 通过模匹配实现最大功率匹配.