2.2 向量组的秩

向量组的秩

定义 ${\alpha }_1...{\alpha }_m$ 中, 若存在其中 $r$ 个向量组成的线性无关的部分组, 但是其中任意 $r+1$ 个向量组成的不分组都线性相关, 则称向量组 ${\alpha }_1...{\alpha }_m$ 的秩为 $r$, $\text{秩}\{{\alpha }_1...{\alpha }_m\}$.

定理 2.2.1 向量组 ${\alpha }_1...{\alpha }_m$ 线性相关的充要条件是 $\text{秩}\{{\alpha }_1...{\alpha }_m\}<m$; 向量组 ${\alpha }_1...{\alpha }_m$ 线性无关的充要条件是 $\text{秩}\{{\alpha }_1...{\alpha }_m\}=m$.

定义 设 ${\alpha }_1...{\alpha }_m$ 的秩为 $r$, 则 ${\alpha }_1...{\alpha }_m$ 中任意 $r$ 个向量组成的线性无关的部分组都称为极大线性无关部分组, 简称极大无关组.

性质 向量组与其任何一个极大无关组都等价; 等价的向量组的极大无关组也等价.

定理 2.2.2 ${\alpha }_1...{\alpha }_s$ 可由 ${\beta }_1...{\beta }_t$ 线性表出, 则 $\text{秩}\{{\alpha }_1...{\alpha }_s\}\le \text{秩}\{{\beta }_1...{\beta }_t\}$. 证明: ^b3560b

推论 等价的向量组有相同的秩.

推论 向量组的任意一个线性无关的部分组都可以扩充为整个向量组的一个极大无关组.

向量组的秩 和 矩阵的秩 的关系

矩阵的秩 = 矩阵行向量的秩 = 矩阵列向量的秩 行变换不改变行向量的秩，列变换不改变列向量的秩 行变换不改变列向量的秩，列变换不改变行向量的秩

定理 2.2.4 $A$ 可逆 $\iff$ $r(A)=n$ \Leftrightarrow$$A 行列向量组线性无关. 向量线性相关 $\iff$ 矩阵秩数量

定理 设矩阵 $a=[{\alpha }_1...{\alpha }_m]$, 经过若干次初等行变换化为 $B=[{\beta }_1...{\beta }_m]$, $A$ 的任意 $k$ 个列向量和 $B$ 的对应的 $k$ 个列向量有相同的线性相关性.

定理 2.2.5 设 $A$ 是 $m\times p$ 矩阵, $B$ 是 $p\times n$ 矩阵, 则 $\text{秩}(AB)\le \min \{\text{秩}(A),\text{秩}(B))\}$.

例 2.2.7 设 $A$ 是 $A\times B$ 矩阵, $B$ 是 $n\times m$ 矩阵, 并且 $AB=I$, 则 $B$ 的列向量组线性无关.

向量组线性相关性判别

• 齐次方程组有无非零解
• 矩阵的秩
• 线性表出
• 其他性质