10 频率响应

频率正弦激励

• 电路激励为非正弦周期波, 可视为含有直流分量和一系列频率成整数倍的正弦分量 (谐波分量).
• 电路的激励为多个不同频率的正弦波, 频率不一定为整数倍.

输入阻抗 $Z$ 是 $j\omega$ 的函数, $Z(j\omega )=R+j\omega L=|Z(j\omega )|\angle \phi (\omega )$. $|Z(j\omega )|$ 与频率的关系称作输入阻抗的幅频特性, ${\phi }_Z$ 与频率的关系称作输入阻抗的相频特性.

输入阻抗函数

$Z(j\omega )=R(\omega )+jX(\omega )$

正弦稳态网络函数

$H(j\omega )=\frac{响应相量}{激励相量}=\frac{1}{1+j\omega RC}$

无独立源单口网络 $N_0$ 的输入阻抗, 输入导纳实际是策动点函数.

$RC$ 低通电路

$\phi <0$, 输出电压总是滞后于输入电压, 该电路又可称为滞后电路.

输入频率为 ${\omega }_c=\frac{1}{RC}=\frac{1}{\tau }$ 时, 电路功率为直流时的一半, 该频率称为半功率频率, 也称为截止频率.

工程上将 $[0,{\omega }_c]$ 的频率称为低通电路的通频带.

正弦稳态的叠加

将每个正弦波产生的响应分量对相量运用叠加原理.

平均功率的叠加

一般来说, 平均功率不适用叠加定理.

当 ${\omega }_1\ne {\omega }_2$ 时, 叠加定理适用于平均功率. 得出的平均功率是所有分量的公周期下的平均值.

$RLC$ 电路的谐振

${\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}$ 这一频率称为电路的谐振频率, 由电路本身性质决定. 此时电路中虽存在电容与电感元件, 但表现如同纯电阻电路. 此时阻抗 $|Z|$ 最小, 电流最大.

$\omega <{\omega }_0$ 时, 电路呈现电容性; $\omega >{\omega }_0$ 时, 电路呈现电感性.

在谐振时, 电容和电感两端电压相等, 且为电源电压的 $Q$ 倍, 称为电路的品质因数, $Q=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}=\frac{{\omega }_{0}L}{R}=\frac{1}{{\omega }_{0}CR}$ 由于谐振时电抗常常比电路中的电阻大得多, $Q$ 值一般在几十到几百之间. 对一定的 ${\omega }_0$ 来说, 电阻越小, 品质因数越高.

品质因数 $Q$ 越高, 电路的选择性越强.

带通滤波

RLC 电路具有带通的特性, 其通频带由两个半功率点决定.

${\omega }_{1,2}=\pm \frac{R}{2L}+\sqrt{(\frac{R}{2L}{)}^2+\frac{1}{LC}}={\omega }_0(\pm \frac{1}{2Q}+\sqrt{\frac{1}{4Q^2}+1})$

通频带宽度为上下半功率点频率之差

$BW={\omega }_2-{\omega }_1=\frac{{\omega }_0}{Q}=\frac{R}{L}$

此时电路品质因数可表示为 $Q=\frac{{\omega }_0}{BW}$

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对于一定的 $\omega$ 来说, 品质因数越高, 通频带越窄.

谐振

容抗感抗相抵消，整体电路只有阻抗。 page=19

品质因数 $Q=\frac{U_L}{U_1}=\frac{U_C}{U_1}$