似然函数

设总体 $X$ 的概率密度为 $f(x;\theta ),\theta \in \Theta$, $X_1,...,X_n$ 为来自总体的样本, 则 $(X_1,...,X_n)$ 的密度函数为 $f(x_1;\theta )...f(x_n;\theta )={\prod }_{i=1}^{n}f(x_i;\theta )$, 若已知样本观测值 $(x_1,...,x_n)$, 则 $\theta$ 的函数为 $L(\theta )=L(\theta ;x_1,x_2,...,x_n)={\prod }_{i=1}^{n}f(x_i;\theta )$ 称为基于样本 $(x_1,...,x_n)$ 的似然函数.

称 $\ln L(\theta )=\ln L(\theta ;x1,...,x_n)=\ln {\prod }_{i=1}^{n}f(x_i;\theta )$ 为样本的对数似然函数.