二维连续型随机变量函数的分布

若 $(X,Y)$ 的概率密度函数为 $f(cx,y)$, $Z=g(X,Y)$ 是 $(X,Y)$ 的函数,

• 若 $Z=g(X,Y)$ 为离散型随机变量, 求 $Z$ 的分布律, 即 $Z=z$ 的概率转化成 $(X,Y)$ 属于区域 $D$ 的概率, $P\{Z=z\}=P\{(X,Y)\in D\}={\iint }_{D}f(x,y)dxdy$.
• 若 $Z$ 不是离散型随机变量时, 采用分布函数法求 $Z=g(X,Y)$ 的分布函数 $F_Z(z)=P\{Z\le z\}=P\{g(X,Y)\le z\}={\iint }_{g(x,y)}f(x,y)dxdy$. 当 $Z$ 为连续性随机变量时, 其概率密度函数为 ${}_Z(x)=F_z^{\prime }(z)$.

定理 设二维随机变量 $(X,Y)$ 的联合密度函数为 $f(x,y)$, 则 $Z=X+Y$ 的概率密度为 $f_Z(z)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x,z-x)dx$ 或 $f_Z(z)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(z-y,y)dy$.

最大值和最小值的分布

设随机变量 $X$ 和 $Y$ 互相独立, 分布函数分别为 $F_X(x)$ 和 $F_Y(y)$, $M=max(X,Y),N=min(X,Y)$, 则 $F_M=F_X(z)F_Y(z),F_N(z)=1-[1-F_X(z)][1-F_Y(z)]$.

若随机变量 $X,Y$ 不独立, 联合密度函数为 $f(x,y)$, 则最大值 $M=max(X,Y)$ 的分布函数为 $F_M(z)=P\{M\le z\}=P\{max(X,Y)\le z\}={\iint }_{x\le z,y\le z}f(x,y)dxdy$, 最小值 $M=min(X,Y)$ 的分布函数为 $F_N(z)=P\{N\le z\}=P\{min(X,Y)\le z\}=1-{\iint }_{x>z,y>z}f(x,y)dxdy$.

指向原始笔记的链接