循环群

$G$ 为循环群, 当且仅当 $\exists a\in G,G=\{a^k|k\in Z\}$.

$G=<a>$, 称 $a$ 为 $G$ 的 生成元.

任何一个循环群必定是 阿贝尔群. 反之则不一定.

n 阶循环群

$G=<a>$ 是循环群, 若 $a$ 是 $n$ 阶元, 则 $G=\{a^0=e{a}^1,a^2,...,a^{n-1}\}$, $|G|=n$, $G$ 为 $n$ 阶循环群.

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无限循环群

$G=<a>$ 是循环群, 若 $a$ 是无限阶元, 则 $G=\{a^0=e{a}^{\pm 1},a^{\pm 2},...\}$, $G$ 为无限循环群.

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循环群的生成元

• $G$ 为无限循环群, 则生成元为 $a$ 和 $a^{-1}$.
• $G$ 为 $n$ 阶循环群, 则 $G$ 含有 $\varphi (n)$ 个生成元, $a^r$ 是 $G$ 的生成元当且仅当 $r<n$, $r$ 与 $n$ 互素.

$\varphi (n)$ 为 $\{0,1,...,n-1\}$ 中与 $n$ 互素的数的个数.

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循环群的子群

$G=<a>$ 是循环群,

• $G$ 的子群是循环群.
• 若是无限循环群, $G$ 的子群除 $e$ 外都是无限循环群.
• 若是 $n$ 阶循环群, 则对 $n$ 的每个正因子 $d$, $G$ 恰好有一个 $d$ 阶子群.

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