二维变量联合分布

$(X,Y)$ 是二维随机变量, 对于任意实数 $x$, $y$, $F(x,y)=P\{\{X\le x\}\cap \{Y\le y\}\}$ 为 $(X,Y)$ 的联合分布函数.

函数表示随机点落在以 $(x,y)$ 为顶点而位于该点左下方的无穷矩形区域内的概率.

• 是关于 $x,y$ 的不减函数
• $F(-\infty ,-\infty )=0,F(+\infty ,+\infty )=1$.
• 对于 $x,y$ 均为右连续.
• $\forall x_1<x_2,y_1<y_2,F(x_2,y_2)-F(x_2,y_1)-F(x_1,y_2)+F(x_1,y_1)\ge 0$.

二维连续性变量的概率密度函数

对于 $(X,Y)$, 二维变量联合分布 为 $F(x,y)$, 存在非负可积函数 $f(x,y)$, 使得 $F(x,y)={\int }_{-\infty }^y{\int }_{-\infty }^{x}f(u,v)dudv$ 称为联合概率密度函数.

• 非负性.
• 正则性 ${\iint }_{R^2}f(x,y)dxdy=1$.
• 若 $f(x,y)$ 在 $(x,y)$ 连续, 则 $\frac{{\partial }^{2}F(x,y)}{\partial x\partial y}=f(x,y)$.
• 设 $D$ 是平面 $xOy$ 上的一个区域, 则有 $P\{(X,Y)\in D\}={\iint }_{D}f(x,y)dxdy$.
• 对于平面上任意曲线 $L$, 有 $P\{(X,Y)\in L\}=0$.

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二维均匀分布

设 $D$ 是平面上的有界区域, 二维随机变量 $(X,Y)$ 具有概率密度 $f(x,y)=\{\begin{array}{ll}1/S& (x,y)\in D\\ 0& \text{others}\end{array}$ 则称 $(X,Y)$ 在 $D$ 上服从均匀分布.

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二维正态分布

若二维随机变量 $(X,Y)$ 具有概率密度 $f(x,y)=\frac{1}{2\pi {\sigma }_1{\sigma }_2\sqrt{1-{\rho }^2}}{e}^{\frac{-1}{2(1-{\rho }^2)}[\frac{(x-{\mu }_1{)}^2}{{\sigma }_1^2}-\frac{2\rho (x-{\mu }_1)(y-{\mu }_2)}{{\sigma }_1{\sigma }_2}+\frac{(x-{\mu }_2{)}^2}{{\sigma }_2^2}]}$ 则称 $(X,Y)$ 服从参数为 ${\mu }_1,{\mu }_2,{\sigma }_1,{\sigma }_2,\rho$ 的二维正态分布, $(X,Y)\sim N({\mu }_1,{\sigma }_1^2,{\mu }_2,{\sigma }_2^2,\rho )$.

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