静电场

电荷的基本性质

• 正电荷, 负电荷.

电荷的相对论不变性

一个物体所带的电荷量与运动状态无关.

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电荷守恒定律

在一个与外界没有点和交换的系统内, 正负电荷的代数和在任何物理过程中保持不变.

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电荷的量子性

自然界中物体所带的电荷量总是以一个基本绝缘的整数倍出现, 电荷的基本单元即为元电荷.

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库仑定律

真空中两个静止点电相互作用力为 $F_{12}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q_1{q}_2}{r_{12}^2}{e}_{12}$ 其中 ${\epsilon }_0$ 称为 真空介电常量.

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电场力的叠加原理

一个点电荷收到多个点电荷的作用力等于作用力的矢量和, $\vec{F}={\sum }_i{\vec{F}}_i$

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电场

任何电荷在其周围的空间激发电场, 电场是一种特殊形态的物质, 具有能量, 动量, 质量.

电荷与电荷之间的相互作用是通过电场对电荷的作用来实现的.

电场强度

由静止电荷 $q_0$ 的受力 $\vec{F}$ 测定, $\vec{E}=\frac{\vec{F}}{q_0}$ 任意带电体在外电场中所受的电场力为 $\vec{F}=\int d\vec{F}=\int \vec{E}dq$ 在点电荷系中 $\vec{E}={\sum }_i\frac{q_i}{4\pi {\epsilon }_0{r}_i^2}{\vec{e}}_{ri}$

电偶极子 的场强 $\vec{E}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0{r}^3}[-\vec{p}+3({\vec{e}}_r\cdot \vec{p}){\vec{e}}_r$

连续带电体 $\vec{E}=\int d\vec{E}=\int \frac{dq}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}{\vec{e}}_r$

均匀带电球面 ${\vec{E}}_{\text{内}}=0,{\vec{E}}_{\text{外}}=\frac{q}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}{\vec{e}}_r$

均匀带电球体 ${\vec{E}}_{内}=\frac{q}{4\pi {\epsilon }_0{R}^3}\vec{r}=\frac{{\rho }_e}{3{\epsilon }_0}\vec{r},{\vec{E}}_{\text{外}}=\frac{q}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}{\vec{e}}_r$ 均匀带电无限长直线 $E=\frac{{\lambda }_e}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}$, 方向垂直于带电直线.

均匀带电无限大平面 $E=\frac{{\sigma }_e}{2{\epsilon }_0}$, 方向垂直于带点平面.

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电荷密度

电荷体密度 ${\rho }_e=\frac{dq}{dV}$

电荷面密度 ${\sigma }_e=\frac{dq}{dS}$

电荷线密度 ${\lambda }_e=\frac{dq}{dl}$

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电场强度通量

电场中通过某一面积 $S$ 的 $\vec{E}$ 通量为 ${\Phi }_e={\int }_S\vec{E}\cdot d\vec{S}$

电场强度通量一般形象等于通过面积 $S$ 的电场线的条数.

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高斯定理

在真空静电场中, 通过任意闭合曲面的 电场强度通量 等于该闭合曲面包围的电荷量的代数和的 $\frac{1}{{\epsilon }_0}$ 倍, 即 ${\oint }_S\vec{E}\cdot d\vec{S}=\frac{1}{{\epsilon }_0}\sum q_{\text{内}}$

• 高斯定理说明了通过闭合曲面的总电通量与曲面内曲面外电荷的分布无关. 但 电场强度 $\vec{E}$ 与电荷的分布有关.
• 库仑定律 只适用于静电场, 而高斯定理适用于各类电场.

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静电场的环路定理

在静电场中, 电场强度沿着任意闭合路径的线积分为 $0$, 即 ${\oint }_L\vec{E}\cdot d\vec{l}=0$

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• 静电场是保守场.

电势能

电场中实验电荷 $q_0$ 在某点具有的电势能为将其从该点沿着任意路径移动到电势能零点时静电力做的功, $W_{ea}=q_0{\int }_a^{\text{零点}}\vec{E}\cdot d\vec{l}$

电势

电场中某点的电势为将单位正电荷其从该点沿着任意路径移动到电势能零点时静电力做的功, ${\phi }_a=\frac{W_{ea}}{q_0}={\int }_a^{\text{零点}}\vec{E}\cdot d\vec{l}$

电场强度 与电势的关系 $\vec{E}=-\nabla \phi$

电场线处处与等势面垂直, 指向电势降低的方向, 电场线密集处等势面间距小.

离散电荷系 $\phi ={\sum }_i{\phi }_i={\sum }_i\frac{q_i}{4\pi {\epsilon }_0{r}_i}$

连续带电体 $\phi =\int d\phi =\int \frac{dq}{4\pi {\epsilon }_{0}r}$

均匀带电球面 ${\phi }_{\text{内}}=\frac{q}{4\pi {\epsilon }_{0}R},{\phi }_{\text{外}}=\frac{q}{4\pi {\epsilon }_{0}r}$

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电势差

$U_{ab}={\phi }_a-{\phi }_b={\int }_a^b\vec{E}\cdot d\vec{l}$

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电荷在外电场中的电势能

点电荷在外电场 $\vec{E}$ 中的电势能 $W_e=q\phi$ 任意带电体在外电场中的电势能 $W_e=\int d{W}_e=\int \phi dq$

移动点电荷 $q$ 时静电力做功 $A_{ab}=q{U}_{ab}$

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静电场中的电偶极子

电偶极子 在均匀外电场中所受的力矩 $\vec{M}=\vec{p}\times \vec{E}$, 电势能为 $W_e=-\vec{p}\cdot \vec{E}$.

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