恒定磁场

电流密度

导体中任意一点电流密度的方向为该点正电荷漂移运动的方向, 大小等于通过该点附近垂直于电流方向单位面积的电流, $\vec{J}=nq{\vec{v}}_d$, $n$ 为导体内部的载流子数密度, ${\vec{v}}_d$ 为载流子的漂移速度.

通过某一面积 $S$ 的电流为 $I=\frac{dq}{dt}={\int }_S\vec{J}\cdot d\vec{S}$

电流的连续性方程 ${\oint }_S\vec{J}\cdot d\vec{S}=\frac{d{q}_{\text{内}}}{dt}$

恒定电流的条件 ${\oint }_S\vec{J}\cdot d\vec{S}=0$

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欧姆定律的微分形式

$\vec{J}=\sigma \vec{E}$, $\sigma =\frac{1}{\rho }$ 为导体的电导率.

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电动势

非静电力把单位正电荷经过电源内部从负极移动到征集所做的功, $\mathcal{E}={\int }_{-}^{+}{\vec{E}}_k\cdot d\vec{l}$ 式中 ${\vec{E}}_k$ 为非静电场场强, ${\vec{E}}_k=\frac{{\vec{F}}_k}{q}$

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运动电荷产生的磁场

$\vec{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{q\vec{v}\times {\vec{e}}_r}{r^2}$

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毕奥-萨伐尔定律

电流元矢量

载有电流的一段矢量线元, $Id\vec{l}$, 大小代表电流元长度.

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真空中电流元在场点 $P$ 产生的磁场为 $d\vec{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{Id\vec{l}\times {\vec{e}}_r}{r^2}$, ${\mu }_0=4\pi \times 10^{-7}N/A^2$ 为真空磁导率, $r$ 为电流元到场点 $P$ 的距离, $e_r$ 为从电流元指向场点 $P$ 的径矢方向的单位矢量.

求任意形状载流导线的磁场时, 可将载流导线堪称由许多个电流元组成的, 整个载流导线在场点所产生的磁感应强度为 $\vec{B}={\int }_{L}d\vec{B}={\int }_L\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{Id\vec{l}\times {\vec{e}}_r}{r^2}$

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磁场的高斯定理

通过磁场中任意曲面 $S$ 的磁通量为 $\Phi ={\int }_S\vec{B}\cdot d\vec{S}$

通过任意封闭曲面的磁通量为零, ${\oint }_S\vec{B}\cdot d\vec{S}=0$

磁场是无源场, 不存在磁单极子.

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安培环路定理

在恒定电流的磁场中, 磁感应强度 $\vec{B}$ 沿着任何闭合路径 $L$ 的线积分等于路径 $L$ 所包围的电流的代数和的 ${\mu }_0$ 倍, ${\oint }_L\vec{B}\cdot d\vec{l}={\mu }_0\sum I_{\text{内}}$, $\sum I_{\text{内}}$ 为闭合路径 $L$ 所包围的电流的代数和, 电流的正负通过右手螺旋定则判断. $\vec{B}$ 是由空间所有恒定电流共同产生的.

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无限长直电流的磁场 $B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi a}$

圆电流中心的磁场 $B=\frac{{\mu }_{0}I}{2R}$

载流无限长直螺线管内的磁场 $B={\mu }_{0}nI$

载流螺绕环内的磁场 $B=\frac{{\mu }_{0}NI}{2\pi r}$

无限大平面电流的磁场 $B=\frac{{\mu }_0}{2}j$

磁场对载流导线的作用

对电流元的安培力 $d\vec{F}=Id\vec{l}\times \vec{B}$

任意形状载流导线 $L$ 在磁场中所受安培力, 是到线上各个电流元所受安培力的矢量叠加, $\vec{F}={\int }_{L}Id\vec{l}\times \vec{B}$

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磁矩

$\vec{m}=I\cdot \vec{S}$

磁矩描述了物体作为磁源产生磁场的能力.

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磁力矩

$\vec{\tau }=\vec{m}\times \vec{B}$

是 磁矩 在外部磁场中受到的力矩.

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均匀磁场对载流线圈的作用

线圈 磁矩 为 $\vec{m}=NIS{\vec{e}}_n$

平面载流线圈在均匀磁场中所受 磁力矩 为 $\vec{M}=\vec{m}\times \vec{B}$

任意载流线圈在均匀磁场中整体受力为零, 但要受到 磁力矩 作用. 在外磁场中, 载流线圈所受磁力矩总是使得线圈转向外磁场的方向.

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洛伦兹力

$\vec{F}=q\vec{v}\times \vec{B}$

当 $q>0$ 时, $\vec{F}$ 沿着 $\vec{v}\times \vec{B}$ 的方向, 洛伦兹力和带电粒子的速度方向始终垂直, 因此洛伦兹力对带点粒子不做功.

带电粒子以 $\vec{v}$ 在均匀磁场 $\vec{B}$ 中运动, 若 $\vec{v}$ 与 $\vec{B}$ 夹角为 $\theta$, 带电粒子做以磁场方向为轴线的等螺距螺旋运动 $h=v_{//}T=\frac{2\pi mv\cos \theta }{qB}$

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霍尔效应

载流导体在磁场中出现横向电势差的现象, $U_H=\frac{IB}{nqb}$, 霍尔系数 $K=\frac{1}{nq}$, 其中 $n$ 为导体内部的载流子数密度, $b$ 为沿着磁场方向导体的厚度.

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磁介质

在外磁场作用下, 磁介质分子的固有 磁矩 沿着外磁场方向, 或磁介质分子产生于外磁场方向相反的感生 磁矩, 这种过程称为磁介质的磁化.

磁化强度

单位体积内分子 磁矩 的矢量和, 用来表示磁介质磁化的强弱程度 $\vec{M}={\chi }_m\vec{H}$, 式中比例系数 ${\chi }_m$ 称为磁介质的磁化率.

磁化使磁介质表面出现磁化电流, 磁化电流密度为 ${\vec{j}}^{\prime }=\vec{M}\times {\vec{e}}_n$.

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磁场强度

$\vec{H}=\frac{\vec{B}}{{\mu }_0}-\vec{M}$

磁场强度的环路定理

在恒定磁场中, 磁场强度 $\vec{H}$ 沿着任意闭合路径 $L$ 的环路积分等于闭合路径所包围的自由电流的代数和, 与磁化电流以及闭合路径以外的自由电流都无关, ${\oint }_L\vec{H}\cdot d\vec{l}=\sum I_{0内}$

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相对磁导率

${\mu }_r=1+{\chi }_m$, 对于顺磁质 ${\mu }_r>1$, 对于抗磁质 ${\mu }_r<1$, 对于铁磁质 ${\mu }_r>>1$.

对于各向同性的磁介质 $\vec{B}={\mu }_0{\mu }_r\vec{H}$, $\mu ={\mu }_0{\mu }_r$ 称为磁介质的磁导率.

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磁畴

铁磁质的起源可以用磁畴理论解释, 铁磁质中的原子 磁矩 可以在小区域内自发平行排列, 形成一个小的自发磁化取, 这种小区域称为磁畴.

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居里点

当铁磁质的温度达到临界温度时, 磁畴 将全部瓦解, 此时铁磁质呈现出顺磁性. 将临界温度称为居里点.

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