概率密度函数

连续随机变量 $X$ 的 分布函数 为 $F(x)$, 若 $F(x)={\int }_{-\infty }^{x}f(t)dt$, 则 $f(x)$ 为 $X$ 的概率密度函数.

• $f(x)\ge 0$
• ${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx=1$

密度函数值不是概率

指数分布

概率密度为 $f(x)=\{\begin{array}{ll}\lambda e^{-\lambda x}& x>0\\ 0& x\le 0\end{array}$ 称 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的指数分布, 分布函数为 $F(x)=\{\begin{array}{llc}1-e^{-\lambda x}& x>0& \\ 0& & x\le 0\end{array}$ $E(X)=\frac{1}{\lambda },D(X)=\frac{1}{{\lambda }^2}$

• 无记忆性

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正态分布

$X$ 的概率密度为 $f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$ 分布函数为 $F(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{\int }_{-\infty }^x{e}^{-\frac{1}{2{\sigma }^2}(t-\mu {)}^2}dt$

• 关于 $\mu$ 对称
• 在 $x-\mu$ 达到最大值 $\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }$

标准正态分布

$\mu =0,\sigma =1$ 的正态分布称为标准正态分布, 密度函数记为 $\phi (x)$, 分布函数记为 $\Phi (x)$.

$\phi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{\frac{x^2}{2}}$ $\Phi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^x{e}^{-\frac{t^2}{2}}dt$

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正态分布可转为标准正态分布: $F(x)=\phi (\frac{x-\mu }{\sigma })$

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定理 设 $X$ 为连续型随机变量，其密度函数为 $f_X(x)$，且当 $a<x<b$ 时，$f_X(x)>0$，若当 $a<x<b$ 时，$y=g(x)$ 为严格单调的可导函数。则 $Y=g(X)$ 为连续型随机变量，且其密度函数为 $f_Y(y)=\{\begin{array}{ll}{f}_X(h(y))|h^{\prime }(y)|& \min (g(a),g(b))<y<\max (g(a),g(b))\\ 0& \text{other}\end{array}$