中心极限定理

随机变量往往近似服从 正态分布.

林德伯格-莱维中心极限定理

定理 设 $X_1,X_2,...$ 是独立同分布的随机变量序列, 且 $E(X_i)=\mu$, $D(X_i)={\sigma }^2>0,i=1,2,,...$, 则对任意的实数 $x$, 有 ${\lim }_{n\to \infty }P\{\frac{{\sum }_{i=1}^n{X}_i-E({\sum }_{i=1}^n{X}_i)}{\sqrt{D({\sum }_{i=1}^n{X}_i)}}\le x\}={\lim }_{n\to \infty }P\{\frac{{\sum }_{i=1}^n{X}_i-n\mu }{\sigma \sqrt{n}}\le x\}={\int }_{-\infty }^x\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{t^2}{2}}dt=\Phi (x)$.

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棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理

定理 在 $n$ 重伯努利试验中, 事件 $A$ 在每次试验中发生的概率为 $p(0<p<1)$, 设 $Y_n$ 表示 $n$ 次试验中事件 $A$ 发生的次数, 则对任意的 $x$, ${\lim }_{n\to \infty }P\{\frac{Y_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}\le x\}={\int }_{-\infty }^x\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{t^2}{2}}dt=\Phi (x)$.

$n$ 较大, $0<p<1$ 时, $\frac{Y_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}$ 近似于标准正态分布 $N(0,1)$, $Y_n$ 近似服从 $N(np,np(1-p))$.

$Y\sim b(n,p),Y\sim N(np,np(1-p))$ 近似.

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李雅普诺夫中心极限定理

设 $X_1,X_2,...,X_n,...$ 是相互独立的随机变量序列, 它们的数学期望和方差都是存在的, 数学期望 $E(X_k)={\mu }_k$, 方差 $D(X_k)={\sigma }_k^2>0$, $k=1,2,...$, $B_n=\sqrt{{\sum }_{k=1}^n{\sigma }_k^2}$, 若存在正数 $\delta$, 使得 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{B_n^{2+\sigma }}{\sum }_{k=1}^{n}E\{|X_k-{\mu }_k{|}^{2+\delta }\}=0$, 则对任意 $x$, 有 ${\lim }_{n\to \infty }P\{\frac{{\sum }_{k=1}^n{X}_k-{\sum }_{k=1}^n{\mu }_k}{B_n}\le x\}={\int }_{-\infty }^x\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{t^2}{2}}=\Phi (x)$.

无论随机变量 $X_k$ 服从什么分布, 只要满足定理的条件, 当 $n$ 充分大时, 他们的和 ${\sum }_{k=1}^n{X}_k$ 近似地服从正态分布.

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