函数依赖定义证明

要直接使用定义证明 函数依赖（FD），而不是依赖 Armstrong 公理系统，您需要从函数依赖的基本含义出发，通过逻辑推导来展示一个 FD 是如何被另一组 FD 所蕴含的。

函数依赖 X → Y 的定义是：对于关系 R 的任何一个关系实例 r，如果 r 中任意两个元组 t 和 s 在属性集 X 上的值都相等（即 t[X] = s[X]），那么它们在属性集 Y 上的值也必须相等（即 t[Y] = s[Y]）。

以下是使用定义证明函数依赖的步骤和示例：

证明步骤：

1. 明确已知条件： 列出所有已知的函数依赖（F）。假设您有一个关系 R，并且它的任何实例都必须满足 F 中的所有函数依赖。
2. 明确目标： 确定您要证明的函数依赖 X → Y。
3. 选取任意两个元组： 考虑关系 R 的任意一个实例 r，并从 r 中选取任意两个元组 t1 和 t2。
4. 设定前提条件： 假设这两个元组 t1 和 t2 在 X 上的值是相等的，即 t1[X] = t2[X]。这是证明 X → Y 所需要的前置条件。
5. 运用已知 FD 推导： 使用已知条件中给定的函数依赖 F，结合 t1[X] = t2[X] 这个前提，一步一步地推导，直到能够得出 t1[Y] = t2[Y]。在每一步推导时，都必须明确指出是依据哪一个已知 FD 的定义来得出新的相等关系。
6. 得出结论： 如果能够成功推导出 t1[Y] = t2[Y]，那么根据函数依赖的定义，就证明了 X → Y 被 F 逻辑蕴含。

示例：证明传递律 (Transitivity) A → B 和 B → C 蕴含 A → C

• 已知条件：
  • A → B （根据定义：如果 t1[A] = t2[A]，则 t1[B] = t2[B]）
  • B → C （根据定义：如果 t1[B] = t2[B]，则 t1[C] = t2[C]）
• 目标： 证明 A → C

证明：

1. 考虑关系 R 的任意一个实例 r。
2. 从 r 中选取任意两个元组 t1 和 t2。
3. 设定前提条件： 假设 t1[A] = t2[A]。
4. 运用已知 A → B：
   • 由于 A → B 成立，并且我们有 t1[A] = t2[A]。
   • 根据 A → B 的定义，我们可以得出 t1[B] = t2[B]。
5. 运用已知 B → C：
   • 现在我们有 t1[B] = t2[B]。
   • 由于 B → C 成立，根据 B → C 的定义，我们可以得出 t1[C] = t2[C]。
6. 得出结论：
   • 我们从 t1[A] = t2[A] 出发，成功推导出了 t1[C] = t2[C]。
   • 因此，根据函数依赖 A → C 的定义，我们证明了 A → C 成立。

通过这种方式，您无需引用 Armstrong 公理系统中的任何规则，而是直接基于函数依赖的定义，一步步地展示逻辑蕴含的过程。