置换的对换分解

$S=\{1,2,...,n\},\sigma =\left(\begin{array}{cccc}{i}_1& i_2& ...& i_k\end{array}\right)$ 是 $S$ 上的 $k$ 阶 轮换, $\sigma$ 可进一步表示为对换的积, $\left(\begin{array}{cccc}{i}_1& i_2& ...& i_k\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{i}_1& i_2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{i}_1& i_3\end{array}\right)...\left(\begin{array}{cc}{i}_1& i_k\end{array}\right)$

• 对换之间可以有交, 分解式不唯一.
• 若 $\sigma$ 可以表示为奇数个对积之和, 则称为奇置换; 否则为偶置换.
• 奇偶性是不变的.
• $n$ 元置换中奇置换和偶置换各有 $\frac{n!}{2}$ 个.