1.8 函数的连续性

连续性

设 $f(x)$ 在 $U_{\delta }(x_0)$ 内有定义, $\forall x\in U_{\delta }(x_0),\Delta x=x-x_0$, 称为自变量在 $x_0$ 点的增量. $\Delta y=f(x)-f(x_0)$, 称为 $f(x)$ 相应于 $\Delta x$ 的增量.

定义 设 $f(x)$ 在 $U_{\delta }(x_0)$ 内有定义, 如果当自变量的增量 $\Delta x$ 趋向于 0 的时候, 对应函数的增量 $\Delta y$ 也趋向于 0, 即 ${\lim }_{\Delta x\to 0}[f(x_0+\Delta x)-f(x_0)]=0$, 那么称 $f(x)$ 在 $x_0$ 连续, $x_0$ 为 $f(x)$ 的连续点. #定义 设 $f(x)$ 在 $U_{\delta }(x_0)$ 内有定义, 如果 $x\to x_0$ 时 $f(x)$ 极限存在, $li{m}_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$, 那么称 $f(x)$ 在 $x_0$ 连续.

$\forall \epsilon >0,\exists \delta >0$, 当 $|x-x_0|<\delta$ 时, 恒存在 $|f(x)-f(x_0)|<\epsilon$.

初等函数的连续性

定理 若 $f(x)$, $g(x)$ 在 $x_0$ 点连续, 则 $f(x)\pm g(x)$, $f(x)\cdot g(x)$, $\frac{f(x)}{g(x)}$ 在 x_0 点也连续. 三角函数在定义域内都连续.

反函数和复合函数的连续性

定理 若 ${\lim }_{x\to x_0}\phi (x)=a$, $f(u)$ 在 $a$ 点连续, 则有 ${\lim }_{x\to x_0}f[\phi (x)]=f(a)=f[{\lim }_{x\to x_0}\phi (x)]$. #定理 若 $u=\phi (x)$ 在 $x=x_0$ 连续, 且 $\phi (x_0)=u_0$, 而函数 $y=f(u)$ 在 $u=u_0$ 连续, 则复合函数 $u=f[\phi (x)]$ 在点 $x=x_0$ 处连续.

• 三角函数及反三角函数在定义域内连续
• 指数函数在 R 上单调连续
• 初等函数在定义域内都是连续的

函数的间断点

第一类

• 跳跃型间断点 $f(x_0-0)\ne f(x_0+0)$.
• 可去型间断点 $f(x_0-0)\ne f(x_0+0)$.
  • ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A\ne f(x_0)$
  • $f(x)$ 在 $x_0$ 处无定义

第二类

• 无穷型间断点
• 震荡间断点
• 函数的间断点不是函数的几个点

闭区间上连续函数性质

最值定理

定理 在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.

零点存在定理

定理 函数在 $[a,b]$ 上连续, $f(a)\cdot f(b)<0$,则一定在 $[a,b]$ 上存在零点

有界性定理

介值定理

定理 函数在 $[a,b]$ 上连续, $f(a)=A,f(b)=B$, 若 $C\in [A,B]$, 存在 $f(\delta )=C$.