最大值和最小值的分布

设随机变量 $X$ 和 $Y$ 互相独立, 分布函数分别为 $F_X(x)$ 和 $F_Y(y)$, $M=max(X,Y),N=min(X,Y)$, 则 $F_M=F_X(z)F_Y(z),F_N(z)=1-[1-F_X(z)][1-F_Y(z)]$.

若随机变量 $X,Y$ 不独立, 联合密度函数为 $f(x,y)$, 则最大值 $M=max(X,Y)$ 的分布函数为 $F_M(z)=P\{M\le z\}=P\{max(X,Y)\le z\}={\iint }_{x\le z,y\le z}f(x,y)dxdy$, 最小值 $M=min(X,Y)$ 的分布函数为 $F_N(z)=P\{N\le z\}=P\{min(X,Y)\le z\}=1-{\iint }_{x>z,y>z}f(x,y)dxdy$.