6 一阶电路

零状态响应

在 $t\ge t_0$ 时在零初始状态下仅由电路的输入所引起的响应称为零状态响应.

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零输入响应

在零输入状态下, 仅由非零初始状态所引起的响应称为零输入响应.

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分解方法

采用戴维南定理或诺顿定理化简含源电阻网络后, 球的端口电压即电容电压 $u_C$, 使用置换定理将源电路变换为一个电阻电路.

零状态响应

• $RC$ 电路

$$u(t)=u(\infty )\cdot (1-e^{-\frac{1}{\tau }t})，\tau =R_{0}C$$

在充电过程中电阻所消耗的总能量与电容最后所储的能量是相等的.  

• $RL$ 电路

$$i(t)=i(\infty )\cdot (1-e^{-\frac{1}{\tau }t}),\tau =\frac{L}{R_0}$$

零状态响应是输入的线性函数.

零状态响应叠加性

若有多个激励, 还存在零状态响应叠加性.

单位阶跃函数

$\epsilon =\{\begin{array}{l}0,t<0\\ 1,t>0\end{array}$

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单位冲激函数

$\delta (t)=\frac{d\epsilon (t)}{dt}$

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阶跃响应

在阶跃波作用下, 电路响应可表示为多个 阶跃 信号之和, 根据 零状态响应叠加性, 求出响应方程.

冲激响应

在 单位冲激 输入下的零状态响应为单位冲激响应, $h(t)=\frac{ds(t)}{dt}$. 线性、时不变电路的冲激响应是它的阶跃响应的导数.

零输入响应

零输入响应是依靠动态元件的初始储能进行的, 当电路中存在着耗能元件 $R$ 时, 有限的初始储能终将被消耗至尽, 零输入响应终将为零.

$u_C(t)=u_1(t)+u_C(0)=u_C(0)e^{-\frac{t}{\tau }}$

$i_L(t)=i_1(t)+I_0=I_0{e}^{-\frac{t}{\tau }}$

零输入响应反应了电路的固有特性,

固有频率

在一阶电路中, $-\frac{1}{\tau }$ 被称为固有频率.

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零输入响应是初始状态的线性函数.

线性动态电路的叠加原理

$$完全响应=零输入+零状态$$