正态总体的区间估计

$X_i$ 为来自正态总体 $N(\mu ,{\sigma }_2)$ 的样本, 置信水平 $1-\alpha$.

1. 方差 ${\sigma }^2$ 已知时, 由于 $\overline{X}$ 是 $\mu$ 的 最大似然估计, 且是 无偏估计, 由抽样分布理论得 枢轴量 为 $W=\frac{\overline{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}\sim N(0,1)$, $W$ 是样本和待估参数的函数, 其分布为 $N(0,1)$, 即 $P\{-z_{\alpha /2}<\frac{\overline{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}<z_{\alpha /2}\}=1-\alpha$, 因此参数 $\mu$ 的一个置信水平为 $1-\alpha$ 的置信区间为 $(\overline{X}-\frac{\sigma }{\sqrt{n}}{z}_{\alpha /2},\overline{X}+\frac{\sigma }{\sqrt{n}}{z}_{\alpha /2})$, 长度为 $l_n=2\frac{\sigma }{\sqrt{n}}{z}_{\alpha /2}$.
2. 方差 ${\sigma }^2$ 未知时, 用样本标准差 $S$ 代替总体标准差 $\sigma$, 枢轴量 为 $T=\frac{\overline{X}-\mu }{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1)$, 因此参数 $\mu$ 的一个置信水平为 $1-\alpha$ 的置信区间为 $(\overline{X}-\frac{S}{\sqrt{n}}{t}_{\alpha /2}(n-1),\overline{X}+\frac{S}{\sqrt{n}}{t}_{\alpha /2}(n-1))$.