格

设 $<S,\preccurlyeq >$ 为 偏序集, 若 $\forall x,y\in S$, $\{x,y\}$ 有上确界和下确界, 则 $S$ 关于 $\preccurlyeq$ 作成一个格.

求 $\{x,y\}$ 上确界和下确界看成 $x,y$ 的二元运算 $\vee ,\wedge$.

通常把在偏序关系的基础上定义的格称为偏序格.

子群格

$L(G)=\{H|H\text{是}G\text{的子群}\}$, 偏序集 $<L(G),\subseteq >$ 称为 $G$ 的 子群格.

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对偶原理

设 $f$ 是含有格中元素的命题, 若 $f$ 对一切格为真, 则 $f$ 的对偶命题 $f^{\ast }$ 也对一切格为真.

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定理 若代数系统 $<S,\ast ,\circ >$ 对于运算适合交换律, 结合律, 吸收率, 则可适当定义 $S$ 中的偏序 $\preccurlyeq$ 使得 $<S,\preccurlyeq >$ 构成格, 且 $\forall a,b\in S$, $a\wedge b=a\ast b,a\vee b=a\circ b$.

定理 设 $L$ 是格, 则 $\forall a,b\in L,a\preccurlyeq b\iff a\wedge b=a\iff a\vee b=b$.

子格

设 $<L,\wedge ,\vee >$ 是格, $S$ 是 $L$ 的非空子集, 若 $S$ 关于 $L$ 中的运算仍构成格, 则称 $S$ 为 $L$ 的子格.

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