变量分布

均匀分布

$X\sim U(a,b)$ 为均匀分布, $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{|b-a|}& \text{if }a\le x\le b\\ 0& \text{otherwise}\end{array}$.

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二项分布

$X\sim b(n,p)$

$P\{X=k\}=C_n^k{p}^k{q}^{n-k}$

$E(X)=np,D(X)=np(1-p)$

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几何分布

$X\sim G(p)$

$P\{X=k\}=q^{k-1}p$

$E(X)=\frac{1}{p},D(X)=\frac{q}{p^2}$

无记忆性: 概率不随试验次数改变.

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超几何分布

$X\sim H(n,M,N)$

$P\{X=m\}=\frac{C_M^m{C}_{N-M}^{n-m}}{C_N^n}$

$E(x)=n\frac{M}{N}$

对应于不放回的抽样模型

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泊松分布

$X\sim P(\lambda )$ 或 $X\sim \pi (\lambda )$

$P\{X=k\}=\frac{{\lambda }^k}{k!}{e}^{-\lambda }$

$E(X)=\lambda ,D(X)=\lambda$

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定理 ${\lim }_{N\to \infty }\frac{M}{N}=p$, 对固定的正整数 $n,m$ 都有 ${\lim }_{N\to \infty }\frac{C_M^m{C}_{N-M}^{n-m}}{C_N^n}=C_n^m{p}^m(1-p{)}^{n-m}$

$N$ 很大, $n$ 较小时, 可以用 二项分布 近似计算 超几何分布.

$P\{X=m\}=\frac{C_m^m{C}_{N-M}^{n-m}}{C_N^n}\approx C_n^m{p}^m(1-p{)}^{n-m}$

定理 $n{p}_n=\lambda$, 对任意非负整数 $k$, ${\lim }_{n\to \infty }{C}_n^k{p}_n^k(1-p_n{)}^{n-k}=\frac{{\lambda }_k{e}^{-\lambda }}{k!}$

$n$ 很大, $p_n$ 很小, 可用 泊松分布 近似计算 二项分布. 一般 $n\le 50,np<5$ 时估计效果较好.

指数分布

概率密度为 $f(x)=\{\begin{array}{ll}\lambda e^{-\lambda x}& x>0\\ 0& x\le 0\end{array}$ 称 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的指数分布, 分布函数为 $F(x)=\{\begin{array}{llc}1-e^{-\lambda x}& x>0& \\ 0& & x\le 0\end{array}$ $E(X)=\frac{1}{\lambda },D(X)=\frac{1}{{\lambda }^2}$

• 无记忆性

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正态分布

$X$ 的概率密度为 $f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$ 分布函数为 $F(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{\int }_{-\infty }^x{e}^{-\frac{1}{2{\sigma }^2}(t-\mu {)}^2}dt$

• 关于 $\mu$ 对称
• 在 $x-\mu$ 达到最大值 $\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }$

标准正态分布

$\mu =0,\sigma =1$ 的正态分布称为标准正态分布, 密度函数记为 $\phi (x)$, 分布函数记为 $\Phi (x)$.

$\phi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{\frac{x^2}{2}}$ $\Phi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^x{e}^{-\frac{t^2}{2}}dt$

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正态分布可转为标准正态分布: $F(x)=\phi (\frac{x-\mu }{\sigma })$

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卡方分布

定义 $X_1,X_2,...,X_n$ 是来自总体 $N(0,1)$ 的样本, 则称统计量 ${\chi }^2=X_1^2+X_2^2+...+X_n^2$ 服从自由度为 $n$ 的 ${\chi }^2$ 分布.

$f(x)=\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\Gamma (\frac{n}{2})}{x}^{\frac{n}{2}-1}{e}^{-\frac{x}{2}},x>0$

其中 $\Gamma (\alpha )={\int }_0^{+\infty }{x}^{\alpha -1}{e}^{-x}dx,\alpha >0$.

$E(X)=n,D(X)=2n$

特别地, 当 $n=2$ 时, ${\chi }^2(2)$ 分布的概率密度 $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2}{e}^{-\frac{x}{2}}& x>0\\ 0& x\le 0\end{array}$.

• 设 $X_1,X_2,...,X_n$ 互相独立, 都服从正态分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$, 则 $\frac{1}{{\sigma }^2}{\sum }_{i=1}^n(X_i-\mu {)}^2\sim {\chi }^2(n)$.
• $X\sim {\chi }^2(n)$, 则 $E(X)=n,D(X)=2n$.
• ${\chi }^2$ 分布的可加性.

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t 分布

设 $X\sim N(0,1),Y\sim {\chi }^2(n)$, $X,Y$ 相互独立, 称 $t=\frac{X}{\sqrt{Y/n}}$ 服从自由度为 $n$ 的 $t$ 分布.

概率密度函数为 $f(x)=\frac{\Gamma [(n+1)/2]}{\Gamma (n/2)\sqrt{n\pi }}(1+\frac{x^2}{n}{)}^{\frac{n+1}{2}},-\infty <x<\infty$.

• $t$ 分布的密度函数关于 $y$ 轴对称, 且 ${\lim }_{|x|\to \infty }f(x)=0$.
• $t$ 分布密度函数于标准正态分布的概率密度函数图像类似.
• 当 $n$ 足够大时, $T$ 近似服从标准正态分布 $N(0,1)$.

柯西分布

当 $n=1$ 时, 其密度函数为 $f(x)=\frac{1}{\pi (1+x^2)},-\infty <x<\infty$, 此时 $t$ 分布就是柯西分布, 其数学期望不存在.

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F 分布

设 $X\sim {\chi }^2(m),Y\sim {\chi }^2(n)$, 且 $X,Y$ 相互独立, 称随机变量 $F=\frac{X/m}{Y/n}$ 服从自由度为 $(m,n)$ 的 $F$ 分布, 记为 $F\sim F(m,n)$, 概率密度函数为 $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{\Gamma (\frac{+n}{2})}{\Gamma (\frac{m}{2})\Gamma (\frac{n}{2})}(\frac{m}{n}{)}^{\frac{m}{2}}{x}^{\frac{m}{2}-1}(1+\frac{m}{n}x{)}^{-\frac{m+n}{2}}& x>0\\ 0& x\le 0\end{array}$.

• 设 $X\sim F(m,n)$, 则 $1/X\sim F(n,m)$.
• 设 $T\sim t(n)$, 则 $T^2\sim F(1,n)$.

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