命题逻辑推理理论

推理的形式结构
定义设 $A_{1}, ..., A_{k}, B$ 为命题公式, 若对于每组赋值 $A_{1} \land ... \land A_{k}$ 为假, 或当 $A_{1} \land ... \land A_{k}$ 为真时, $B$ 也为真, 则称由前提 $A_{1}, ..., A_{k}$ 推出结论 $B$ 的推理是有效的或正确的, 称 $B$ 是有效结论.

定理 $A_{1}, ..., A_{k}$ 推出 $B$ 的推理正确当且仅当 $A_{1} \land ... \land A_{k} \to B$ 为重言式.

推理正确不能保证结论一定正确.

${A_{1}, ..., A_{k}} ⊢ B$ , 若推理正确记为 ${A_{1}, ..., A_{k}} ⊨ B$ , 否则为 ${A_{1}, ..., A_{k}} ⊭ B$ .

$A_{1} \land ... \land A_{k} \to B$ , 若推理正确, 记为 $A_{1} \land ... \land A_{k} \Rightarrow B$ .

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推理定律
附加律 $A \Rightarrow (A \lor B)$ 化简律 $(A \land B) \Rightarrow A$ 假言推理 $(A \to B) \land A \Rightarrow B$ 拒取式 $(A \to B) \land \neg B \Rightarrow A$ 析取三段论 $(A \lor B) \land \neg B \Rightarrow A$ 假言三段论 $(A \to B) \land (B \to C) \Rightarrow A \to C$ 等价三段论 $(A \leftrightarrow B) \land (B \leftrightarrow C) \Rightarrow (A \leftrightarrow C)$ 构造性二难 $(A \to B) \land (C \to D) \land (A \lor C) \Rightarrow (B \lor D)$ , $(A \to B) \land (\neg A \to B) \Rightarrow B$ 破坏性二难 $(A \to B) \land (C \to D) \land (\neg B \lor \neg D) \Rightarrow (\neg A \lor \neg C)$
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自然推理系统
P 规则: 前提在推导过程中任何时候都可以引用或使用. T 规则: 在推导中, 若有一个或多个公式重言蕴含中公式 $S$ , 则 $S$ 课引入推导中.

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