数学期望

定义 设 $X$ 是离散型随机变量, 其分布律为 $P=\{X=x_k\}=p_k,k=1,2,...$ 如果级数 ${\sum }_{k=1}^{\infty }{x}_k{p}_k$ 绝对收敛, 则称为 $X$ 的数学期望, 又称均值, 记为 $E(X)$, $E(X)={\sum }_{k=1}^{\infty }{x}_k{p}_k$. 若 ${\sum }_{k=1}^{\infty }|x_k|p_k$ 发散, 则称 $X$ 的数学期望不存在.

定义 设 $X$ 是连续性随机变量, 其密度函数为 $f(x)$, 如果 ${\int }_{-\infty }^{+\infty }xf(x)dx$ 绝对收敛, 则称其为 $X$ 的数学期望, 记为 $E(X)$; 若 ${\int }_{-\infty }^{+\infty }|x|f(x)dx$ 发散, 则称数学期望不存在.

不是所有的随机变量都有数学期望.

定理 设连续性随机变量 $X$ 的数学期望存在, 概率密度 $f(x)$ 关于 $\mu$ 对称, 即有 $f(\mu +x)=f(\mu -x)$, 则 $E(X)=\mu$.

定理 设 $X$ 是一个随机变量, $Y=g(X)$ 是 $X$ 的函数, 若 $X$ 为离散型随机变量, 若 ${\sum }_{k=1}^{\infty }g(x_k)p_k$ 绝对收敛, 则为 $Y$ 的数学期望; 若 $X$ 为连续性随机变量, 概率密度为 $f(x)$, 若 ${\int }_{-\infty }^{+\infty }g(x)f(x)dx$ 绝对收敛, 则为 $Y$ 的数学期望.

定理 设 $(X,Y)$ 是二维随机变量, $Z=g(X,Y)$ 是函数, 若为二维离散型随机变量, 若 ${\sum }_{i=1}^{+\infty }g(x_i,y_j)p_{ij}$ 绝对收敛, 则为 $Z$ 的数学期望; 若为二维连续性随机变量, 其联合密度函数为 $f(x,y)$, 若 ${\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }g(x,y)f(x,y)dxdy$ 绝对收敛, 则为 $Z$ 的数学期望.

• 设 $c$ 是常数, 则 $E(c)=c$.
• 若 $X$ 的数学期望存在, $E(kX)=kE(X)$.
• 若 $X,Y$ 的数学期望存在, $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$.
• 若相互独立的变量 $X,Y$ 数学期望都存在, 则 $E(XY)=E(X)E(Y)$.