F 分布

设 $X\sim {\chi }^2(m),Y\sim {\chi }^2(n)$, 且 $X,Y$ 相互独立, 称随机变量 $F=\frac{X/m}{Y/n}$ 服从自由度为 $(m,n)$ 的 $F$ 分布, 记为 $F\sim F(m,n)$, 概率密度函数为 $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{\Gamma (\frac{+n}{2})}{\Gamma (\frac{m}{2})\Gamma (\frac{n}{2})}(\frac{m}{n}{)}^{\frac{m}{2}}{x}^{\frac{m}{2}-1}(1+\frac{m}{n}x{)}^{-\frac{m+n}{2}}& x>0\\ 0& x\le 0\end{array}$.

• 设 $X\sim F(m,n)$, 则 $1/X\sim F(n,m)$.
• 设 $T\sim t(n)$, 则 $T^2\sim F(1,n)$.