1.4 可逆矩阵

定义 设 $A$ 是 $n$ 阶方阵, 若存在 $n$ 阶方阵 B, 使 $AB=BA=I$, 则称 $A$ 是可逆矩阵, $B$ 是 $A$ 的逆矩阵. 可逆矩阵的逆矩阵是唯一的, $A$ 的逆矩阵为 $A^{-1}$.

可逆矩阵一定是方阵, 但方阵未必一定可逆.

定理 1.4.1 设 $A$ 为方阵, 则 $A$ 是可逆矩阵的充要条件是 $A$ 满秩.

计算方法

$\left[\begin{array}{cc}A& I\end{array}\right]$ 通过初等行变换化为阶梯型矩阵, 将前半部分化为单位矩阵.

性质

1. $A$ 可逆, 则 $A^{-1}$ 可逆, $(A^{-1}{)}^{-1}=A$
2. A 可逆, $A^T$ 可逆, $(A^{-1}{)}^T=(A^T{)}^{-1}$
3. $A$ 与 $B$ 为同阶可逆矩阵, $AB$ 也可逆, $(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$
4. $(A^m{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^m$

• $A,B$ 可逆时, $A+B$ 不一定可逆
• $(A+B{)}^{-1}\ne A^{-1}+B^{-1}$
• $kA(k\ne 0)$ 可逆

定理 1.4.2 设 $A$ 为 $n$ 阶方阵, 齐次线性方程组 $AX=0$ 有非零解的充要条件是 $A$ 不可逆.

矩阵方程

• $AX=C\iff X=A^{-1}C$
• $XB=D\iff X=D{B}^{-1}$
• $AXB=F\iff X=A^{-1}F{B}^{-1}$