5.1 特征值和特征向量

相似

定义 若存在 $n$ 阶可逆矩阵 $P$, $n$ 阶矩阵 $A,B$, 使得 $P^{-1}AP=B$, 则称 $A\sim B$, $P$ 为 $A$ 到 $B$ 的相似变换矩阵.

特征值与特征向量

定义 若存在 $\lambda \in C$, 列向量 $X$, 使得 $AX=\lambda X$, 则称 $\lambda$ 为 $A$ 的特征值.

设 $A$ 为三界可对角化矩阵, 则存在 3 阶可逆矩阵 $P$, 使得 $P^{-1}AP=\left[\begin{array}{ccc}{\lambda }_1& & \\ & {\lambda }_2& \\ & & {\lambda }_3\end{array}\right]$, 把 $P$ 按列分块, $P=[X_1,X_2,X_3]$, 则 $P\left[\begin{array}{ccc}{\lambda }_1& & \\ & {\lambda }_2& \\ & & {\lambda }_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}A{X}_1& A{X}_2& A{X}_3\end{array}\right]=[{\lambda }_1{X}_1,{\lambda }_2{X}_2,{\lambda }_3{X}_3]$.

定义 $AX=\lambda X$, $\lambda$ 为 $A$ 的特征值, $n$ 元非零向量 $X$ 为 $A$ 的特征向量.

特征值和特征向量的求法

求解特征多项式方程 $|\lambda I-A|X=0$, 求出 $\lambda$ 的全部解 (包括重根), 即为 $A$ 的特征值.

将特征值带入回特征多项式, 通过高斯消元法解出矩阵的一般解, 解向量即为特征向量

性质

性质 $A\sim B$, 则 $|\lambda I-A|=|\lambda I-B|$, 特征值相等.

定理 $A\sim B$, $AX=\lambda X$, $B(P^{-1}X)=\lambda (P^{-1}X)$.

定理 ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$ 是 $A$ 的 $n$ 个特征值, 则 ${\sum }_{i=1}^n{\lambda }_i=tr(A)$, ${\Pi }_{i=1}^n{\lambda }_i=|A|$.

相似对角化

定义 $n$ 阶方阵 $A$ 可对角化, 则存在 $n$ 阶可逆矩阵 $P$ 使得 $P^{-1}AP=\left[\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& & & \\ & {\lambda }_2& & \\ & & \dots & \\ & & & {\lambda }_n\end{array}\right]$, 令 $P=\left[\begin{array}{cccc}{X}_1& X_2& \dots & X_n\end{array}\right]$, 则 $A{X}_i={\lambda }_i{X}_i$, 于是 $X_1,\dots ,X_n$ 是 $n$ 个线性无关的特征向量.

定理 $n$ 阶方阵 $A$ 可对角化 $\iff$ $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量.