4.2 行列式

$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2=b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2=b_2\end{array}$ 当 $a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}\ne 0$ 时, 上列方程有唯一解. 引用符号 $\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|$ 代表 $a_{11}+a_{22}-a_{12}{a}_{21}$, 则方程组的解为 $x_1=\frac{\left|\begin{array}{cc}{b}_1& a_{12}\\ b_2& a_{22}\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|},x_2=\frac{\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& b_1\\ a_{21}& b_2\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|}$ 称为二阶行列式.

对于三元方程组, 同理得 $x_1=\frac{D_1}{D},x_2=\frac{D_2}{D},x_3=\frac{D_3}{D}$

1. 项的形式 $a_{1j_1},a_{1j_2},a_{1j_3}$
2. 项的个数 $3!=6$
3. 项的符号 $(-1{)}^{\tau (j_1{j}_2{j}_3)}$

定义 $\Sigma (-1{)}^{\tau (j_1{j}_2\dots j_n)}{a}_{1j_1}{a}_{2j_2}\dots j_{n{j}_n}$ 为 $n$ 阶行列式的展开式.

若 $A$ 是上三角矩阵, 则 $|A|=a_{11}{a}_{22}\dots a_{nn}$. 若 $A$ 为上下三角矩阵, 则称 $|A|$ 为上下三角行列式.

性质

性质 1. 设 $A=[a_{ij}{]}_{n\times n}$ 是 $n$ 阶方阵, 则 $|A|=|A^T|$.

性质 2. $A->R_{ij}->B$, 则 $|A|=-|B|$ #推论 若行列式有两行完全相同, 则行列式等于 0.

性质 3. $A->k{R}_i->B$, 则 $k|A|=|B|$ #推论 若某一行元素全为 0, 则该行列式为 0 #推论 若行列式中两行成比例, 则行列式为 0

性质 4. 将特定行列式拆为 $A^{\prime },A^{\prime \prime }$, 则 $|A|=|A^{\prime }|+|A^{\prime \prime }|$.