2.1 向量的线性相关性

定义 运算

定义 由数域 $F$ 中 $n$ 个数 $a_1,a_2,...,a_n$,构成的 $n$ 元有序数组称为数域 $F$ 上的一个 $n$ 元向量. #定义 若 $\alpha =(a_1,a_2,...,a_n)$ $\beta =(b_1,b_2...b_s)$ 若 $s=t,a_i=b_i$, 则 $\alpha$ 与 $\beta$ 相等.
分量全为 0 的向量为零向量 $\theta$, 负向量 $-\alpha$. $k\alpha =\theta ,k=0\text{ or }\alpha =\theta$

向量的线性相关性

线性组合

定义 定义向量 $\beta =k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+...+k_m{\alpha }_m$, $\beta$ 是 ${\alpha }_1,...,{\alpha }_m$ 的线性组合. 也称 $\beta$ 可由 ${\alpha }_1,...,{\alpha }_m$线性表出.

线性相关

定义 $k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+...+k_m{\alpha }_m=\theta$, 则 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_m$线性相关, 否则称线性无关.

• $\alpha ,\beta$ 两个 2 元实向量, $\alpha ,\beta \text{线性相关}\iff \alpha ,\beta \text{共线}$.

• 结论 $\alpha ,\beta$ 两个 $n$ 元实向量, $\alpha ,\beta \text{线性相关}\iff \alpha ,\beta \text{对应分量成比例}$.

• 一个向量 $\alpha$ 线性相关, $\alpha =\theta$.

• 线性相关, 对应齐次线性方程组有非零解;

• 线性无关, 对应齐次线性方程组没有非零解.

• $m$ 个 $n$ 元向量线性相关 $(m>n)$.

• 一部分向量组线性相关, 则整体线性相关.

• 结论 向量组线性相关的充要条件是至少存在一个向量可由其余向量线性表出.

定义 设 ${\epsilon }_i=(0,0,0,...,1,0,0,...,0),i=1,2,...,n$ 是 n 个 n 元向量 (1 前有 i 个 0), 称为 $n$ 元基本向量组, 则 ${\epsilon }_1...{\epsilon }_n$ 线性无关. 对任意 $n$ 元向量 $\alpha$ 均有 ${\epsilon }_1...{\epsilon }_n,\alpha$ 线性相关, 可由 ${\epsilon }_1...{\epsilon }_n$ 线性表出.

定理 ${\alpha }_1...{\alpha }_n$ 线性无关. ${\alpha }_1...{\alpha }_n,\beta$ 线性相关, 则 $\beta$ 可由 ${\alpha }_1...{\alpha }_n$ 线性表出且表示方法唯一.

向量组等价

定义 设向量组 ${\alpha }_1...{\alpha }_n$, ${\beta }_1...{\beta }_n$, 若 ${\alpha }_i$ 均可由 ${\beta }_1...{\beta }_n$ 线性表出, 则称向量组 ${\alpha }_1...{\alpha }_n$ 可由 ${\beta }_1...{\beta }_n$ 线性表出. 若两向量组可互相线性表出, 则两向量组等价. $\{{\alpha }_1...{\alpha }_n\}\cong \{{\beta }_1...{\beta }_n\}$

• 自反性
• 对称性
• 传递性

定理 一个向量组可以线性表示出任意一个部分组.

定理 2.1.3 ${\alpha }_1...{\alpha }_s$, 若存在 ${\beta }_1...{\beta }_t$ 使得 ${\alpha }_1...{\alpha }_s$ 可由 ${\beta }_1...{\beta }_t$ 线性表出, 且 $s>t$, 则 ${\alpha }_1...{\alpha }_s$ 线性相关.

推论 ${\alpha }_1...{\alpha }_s$ 可由 ${\beta }_1...{\beta }_t$ 线性表出, ${\alpha }_1...{\alpha }_s$ 线性无关, 则 $s\le t$

结论 等价的线性无关向量组包含相同个数的向量.