1.5 分块矩阵

定义 将 $m\times n$ 矩阵分割为 $s\times t$ 个小矩阵，将 $A$ 视为以 $A_{ij}$ 为元素的形式上的 $s\times t$ 矩阵，每个小矩阵称为 $A$ 的子块。

1. 按照元素排列特性分块
2. 按行列分块
3. 两个极端情况 前矩阵列分法与后矩阵行分法一致。

分块矩阵的初等变换

定义 分块 初等变换 为

1. 用可逆矩阵$P$ 左乘 (右乘) $A$ 的某一行 (列) 全部子块
2. $A$ 的某一行 (列) 全部子块左乘 (右乘) 矩阵 $Q$ 后再加到另一行 (列) 上
3. 互换 $A$ 的两行 (列)

分块单位矩阵

$\left[\begin{array}{cc}{I}_s& 0\\ 0& I_t\end{array}\right]$

分块初等矩阵

对分块单位矩阵做一次分块初等变换得到的分块矩阵. #定理 初等行变换 = 左乘分块初等矩阵, 初等列变换 = 右乘分块初等矩阵 #推论 分块矩阵 $A$ 经过若干次初等变换变为 $B$, 则 $A$ 相抵于 $B$. #推论 分块初等变换不改变分块矩阵的秩.

定理 $r(A+B)\ge r(A)+r(B)$ #推论 $r(A)+r(B)\le n$ #定义 矩阵 A 的子块 $A_1,A_2,...A_l$ 都为方阵时称为准对角矩阵 对角矩阵可逆的充要条件是主对角元都不为零 三角矩阵可逆的充要条件是主对角元都不为零

三角分解

若 $A=[a_{ij}{]}_{m\times n}$ 的任意方阵 $A_k=[a_{ij}{]}_{k\times k}$ 均满秩, 则 $A$ 可表示为 $A=LU$, $L$ 为主对角元全为 $1$ 的 $n$ 阶下三角矩阵, $U$ 是 $n$ 阶可逆上三角矩阵, 称为 $A$ 的三角分解.

对系数矩阵 A 可分解为 A=LU, 对线性方程组的求解可转化为…