群

半群

设 $V=<S,\circ >$ 是代数系统, 若 $\circ$ 是可结合的, 则 $V$ 是半群.

若 $V$ 是半群, $e\in S$ 是关于运算的单位元, 则 $V$ 为 含幺半群, 也称为 独异点.

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若 $V$ 是独异点, 若 $\forall a\in S,a^{-1}\in S$, 则 $V$ 是群, 记为 $G$.

flowchart TB
	subgraph 代数系统
		subgraph 半群
			subgraph 独异点
				subgraph 群
					逆元
					end
				单位元
			end
			可结合
		end
		封闭
	end

Klein四元群

$S=\{e,a,b,c\}$

e & a & b & c \\ a & e & c & b \\ b & c & e & a \\ c & b & a & e \end{matrix}$$ $G=<S, *>$ 称为 Klein 四元群. - 满足交换律; - 每个元素都是自己的逆元; - 任何两个元素运算结果都等于剩下的第三个元素.指向原始笔记的链接

• 有限群: $G$ 是有穷集.

• 无限群: $G$ 是无穷集.

• 阶: 群 $G$ 的基数, 有限群的阶记为 $|G|$.

• 平凡群: 只含 单位元 的群.

  阿贝尔群

  交换群: $G$ 中的二元运算可交换, 也称为阿贝尔群.

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群中元素的幂

$a\in G,n\in Z$, 则 $a^n=\{\begin{array}{ll}e& n=0\\ a^{n-1}a& n>0\\ (a^{-1}{)}^m,n<0& n=-m\end{array}$ 只有群中元素可以定义负整数次幂.

幂运算规则

• $\forall a\in G,(a^{-1}{)}^{-1}=a$,
• $\forall a,b\in G,(ab{)}^{-1}=b^{-1}{a}^{-1}$,
• $\forall a\in G,a^n{a}^m=a^{n+m},n,m\in Z$,
• $\forall a\in G,(a^n{)}^m=a^{nm},n,m\in Z$,
• 若 $G$ 为交换群, 则 $(ab{)}^n=a^n{b}^n$.

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元素的阶

$a\in G$, 使得 $a^k=e$ 成立的最小正整数 $k$ 为 $a$ 的阶, $|a|=k$, 称 $a$ 为 $k$ 阶元.

若 $k$ 不存在, 则 $a$ 为无限阶元.

$a\in G,|a|=r$, 则

1. $a^k=e$, 当且仅当 $r$ 整除 $k$.
2. $|a^{-1}|=|a|$.

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消去律

$G$ 为群, $G$ 适用消去律, $\forall a,b,c\in G$,

1. 若 $ab=ac$, 则 $b=c$;
2. 若 $ba=ca$, 则 $b=c$.

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群中方程存在唯一解

$\forall a,b\in G$, 方程 $ax=b,ya=b$ 在 $G$ 中有且仅有唯一解 $a^{-1}b,b{a}^{-1}$.

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群中无零元

群 $<G,\ast >$ 中无零元.

假设当 $|G|>1$ 且群 $<G,\ast >$ 中有零元 $\theta$， 则对任何 $x\in G$, 都有 $x\ast \theta =\theta \ast x=\theta \ne e$。 所以 $\theta$ 不存在逆元。 这与 $<G,\ast >$ 是群矛盾。

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