子群

$H\subseteq G$,

1. 若 $H$ 关于 $G$ 中的运算构成群, 则称为 $G$ 的子群, $H\le G$.
2. 若 $H\subset G$, 则为 $G$ 的真子群, $H<G$.

$G$ 和 $e$ 都是 $G$ 的子群, 称为 $G$ 的平凡子群.

判定

• $H\subseteq G$, $H$ 是 $G$ 的子群, 当且仅当 $\forall a,b\in H,ab\in H$ (封闭), 且 $\forall a\in H,a^{-1}\in H$. (逆元)

• $H\subseteq G$, $H$ 是 $G$ 的子群, 当且仅当 $\forall a,b\in H,a{b}^{-1}\in H$.

• $H$ 为 $G$ 的非空有穷子集, $H$ 是 $G$ 的子群, 当且仅当 $\forall a,b\in H,ab\in H$. (封闭)

生成子群

$a\in G,H=\{a^k,|k\in Z\}$, 则 $H$ 是由 $a$ 生成的子群, 记作 $<a>$.

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群的中心

$C$ 为 $G$ 的子群, 且称为 $G$ 的中心, 当且仅当 $C=\{a|a\in G\wedge \forall x\in G(ax=xa)\}$.

群的中心是群中所有 可交换 元素构成的集合

• 对于 阿贝尔群 $G$, 因为 $G$ 中所有的元素互相都可交换, $G$ 的中心就等于 $G$.
• 对某些非交换群 $G$ 它的中心是 $\{e\}$.

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子群格

$L(G)=\{H|H\text{是}G\text{的子群}\}$, 偏序集 $<L(G),\subseteq >$ 称为 $G$ 的 子群格.

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